3. Формирование математической модели.

рис 3.1

Для схемы электрической цепи рис 3.1

количество узлов Nузл = 4

количество ветвей Nв =6

количество ветвей содержащих только идеальную ЭДС = 0

количество ветвей содержащих только идеальный источник тока = 0

В соответствии с (2.4) по первому закону Кирхгофа необходимо составить

(для 1 узла) (3.1)

(для 3 узла) (3.2)

(для 4 узла) (3.2)

необходимое число уравнений по второму закону Кирхгофа

(для 1 контура) (3.3)

(для 2 контура) (3.4)

(для 3 контура) (3.5)

Компоненты соотношения для схемы:

, , ,

Из уравнения (3.3) находим UL:

(3.6)

Из уравнения (3.1) находим ток i2:

(3.7)

Заменим в уравнении (3.6) U2 на i2*R2:

(3.8)

Из уравнения (3.5) находим i1 заменив U1 на i1*R1:

(3.9)

В уравнение (3.7) подставим значение тока i1 из уравнения (3.9):

(3.10)

Из уравнения (3.4) находим ток i3:

(3.11)

В уравнение (3.3) подставим уравнения (3.9) и (3.11):

(3.12)

Из уравнения (3.12) найдём ток i5:

(3.13)

Подставим значение i5 из уравнения (3.13) в уравнение (3.10):

(3.14)

Уравнение (3.14) подставим в уравнение (3.6):

(3.15)

Из уравнения (3.16) найдём UL:

(3.16)

Получим:

(3.17)

Используя соотношение для данной схемы , получим:

(3.18)

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

(3.19)

Из уравнения (3.2) находим ток iC:

(3.20)

В уравнение (3.20) подставим уравнение (3.13):

(3.21)

В уравнение (3.21) подставим значение UL из уравнения (3.16):

(3.22)

Упростим, получим:

(3.23)

Используя соотношение для данной схемы , получим:

(3.24)

Тогда:

(3.25)

Математическая модель представляет собой систему двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

(3.26)

Представим систему уравнений в матричной форме:

,

или, учитывая характер задающего напряжения:

,

где - вектор переменных состояния

- квадратная матрица второго порядка постоянных коэффициентов при переменных состояния в уравнениях модели.

, ,- векторы внешнего воздействия.

Находим значение выходной переменной через переменные состояния:

Для нахождения U5 в уравнение (3.13) подставим значение UL из уравнения (3.16)

(3.27)

Приводим к общему знаменателю:

(3.28)

Используя соотношение , получим:

(3.29)

Тогда:

(3.30)

4. Результаты работы программы.

Пункты задания 2-5 курсового проекта были рассчитаны с помощью программы, написанной на языке программирования Turbo Pascal 7.0, текст приведён в приложении А.

Поскольку математическая модель представлена в матричной форме, программа содержит набор процедур, обеспечивающих выполнение основных операций матричной алгебры.

Параметрическая оптимизация осуществляется в пространстве двух варьируемых параметров методом координатного спуска в соответствии с алгоритмом рис 2.9 (процедура Koord). Задача одномерной оптимизации решается методом золотого сечения (процедура Gold). Алгоритм метода золотого сечения представлен на рис.2.8

Для вычисления целевой функции служит функция Kp_nep. Она основана на поиске периодического решения непосредственным методом и вычисления коэффициента пульсаций по формулам (2.14, 2.15)

Определение вектора начальных условий периодического решения непосредственным методом осуществляется по алгоритму представленному на рис 2.5 (процедура Def_Nep).

Процедура Ust реализует поиск периодичного решения методом установления по алгоритму рис 2.6 и построение временных зависимостей переменных состояния и выходной переменной в переходном режиме.

Для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений выбран метод Рунге – Кута 4 порядка, заданный в задании к курсовому проекту.

Применение программы дало следующие результаты:

Рис 4.1 Переходный процесс установления переодического состояния

Рис 4.2 Периодическое решение на одном периоде.