2.2.3. Метод установления

Полагая начальный момент времени t_n = 0 и учитывая условие периодичности, поиск периодического решения системы дифференциальных уравнений можно свести к решению системы трансцендентных уравнений относительно вектора начальных условий Q

(2.25)

Наиболее простой и естественный путь решения системы (2.25) - метод простой итерации:

(2.15) (2.26)

где вектор начального приближения Q⁽⁰⁾ задается произвольным образом. Каждое последующее приближение Q^(s+1) находится решением задачи Коши на интервале (О, Т) с начальным условием, задаваемым предыдущим приближением Q^(s). С другой стороны, учитывая периодичность правой части системы дифференциальных уравнений, Q^(s+1) определяется решением задачи Коши на интервале с условием X(sT)=Q^S, то есть реализация итерационного процесса (2.15) эквивалентна решению задачи Коши с начальным условием, задаваемым вектором Q⁽⁰⁾, на временном интервале, длительность которого определяется условиями сходимости. Поэтому метод поиска вектора начальных условий периодического решения по численной схеме (2.26) называют еще методом установления или поиском периодического решения через переходный процесс.

Выбор критерия окончания итерационного процесса (2.26) зависит от выбора нормы в пространстве векторов.

Если норма вектора определяется как , то в качестве критерия сходимости выбирают выполнение неравенства:

(2.27)

Если в качестве нормы вектора принять, то критерием окончания итерационного процесса будет служить неравенство:

(2.28)

В неравенствах (2.27) и (2.28) величина 8 определяет относительную разницу между двумя соседними приближениями, то есть характеризует относительную точность вычисления вектора начальных условий периодического решения. Блок-схема алгоритма поиска периодического решения методом установления представлена на рис. 2.4.

Рис 2.4

2.2. Задача параметрической оптимизации

Проектированием называют процесс создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще не существующего объекта, на основе первичного описания этого объекта (задания на проектирование).

Проектирование сводится к решению группы задач синтеза и задач анализа. При этом задачи синтеза связаны с созданием объекта, в то время как задачи анализа - с изучением свойств данного объекта.

Различают синтез структурный и параметрический. Цель структурного синтеза - получение структурной схемы объекта, содержащей сведения о составе элементов и способах их соединения между собой. Цель параметрического синтеза - определение числовых значений параметров элементов. Синтез носит название оптимизации, если определяются наилучшие в заданном смысле структуры и значения параметров. Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией, а расчет оптимальных значений параметров при заданной структуре - параметрической оптимизацией.

В обобщенном виде задача параметрической оптимизации формлируется следующим образом. Пусть D - область в пространстве параметров Р =(p₁ ,р₂,..., р_m) и пусть в этой области определена скалярная функция W(Р), удовлетворяющая условию

при ограничениях типа равенств

и типа неравенств

Требуется найти минимум (максимум) W(P) в области D при указанных ограничениях. Если ограничения отсутствуют, имеет место безусловная оптимизация, оптимизация при наличии ограничений носит название условной. Наиболее просто осуществляется безусловная оптимизация. Путем применения специальных приемов оптимизация с ограничениями может быть сведена к задаче безусловной оптимизации, но с числом переменных, большим, чем т. В настоящем пособии ограничимся рассмотрением безусловной оптимизации.

В зависимости от размерности пространства параметров (значения т) выделяют одномерную (m=1) и многомерную (m>1) оптимизацию.

В теории оптимизации важными являются понятия локального и глобального минимумов (максимумов) функции, а также понятия унимодальной я неунимодальной функций.

Точка Р' называется точкой локального минимума функции f(P), если существует δ-окрестность данной точки, такая, что

Значение f(P') носит название локального минимума функции f( Р).

Точка Р' локального минимума называется точкой глобального минимума, если для всех других точек локального минимума выполняется условие. Значение f(P') при этом носит название глобального минимума.

Унимодальной в некоторой области называется функция, имеющая в данной области одну точку минимума (максимума), в противном случае функция неунимодальна.