2.3 Законы кирхгофа.

Основными законами теории электрических цепей, определяющими распределение токов и напряжений в цепях, являются законы баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).

Первый закон Кирхгофа. В любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

(2.3)

где М - число ветвей, сходящихся в узле. Количество уравнений, которое необходимо составить по первому закону Кирхгофа, определяется по формуле:

(2.4)

где N_узл - количество узлов в схеме; N_E - количество ветвей, содержащих только идеальные источники напряжения.

Второй закон Кирхгофа. В любой момент времени алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре схемы равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура:

(2.5)

где Р - число пассивных элементов в контуре; Q - число источников ЭДС в контуре. Количество уравнений, которое необходимо составить по второму закону Кирхгофа определяется по формуле:

(2.6)

где N_В - количество ветвей в схеме; N_j ' количество ветвей в схеме, содержащих источники тока.

Состояние электрической цепи, при котором токи и напряжения либо неизменны во времени, либо меняются периодически, носит название установившегося (стационарного). Наступлению установившегося состояния, отличного от первоначального режима работы, предшествует, как правило, переходный процесс (переходное состояние), при котором токи и напряжения изменяются непериодические. Переход от одного состояния цепи к другому может быть вызван изменением структуры цепи или значений параметров ее элементов, которое в общем случае называется в электротехнике коммутацией.

Теоретически можно считать, что коммутации производятся мгновенно, однако переход от исходного режима работы к последующему установившемуся процессу происходит не мгновенно, а за некоторое время.

Это обстоятельство объясняется тем, что каждому установившемуся (стационарному) состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с изменением энергии этих полей. Однако энергия, запасаемая в магнитном поле индуктивности, и энергия, запасаемая в электрическом поле емкости, не могут измениться мгновенно, так как в противном случае мощность, равная производной энергии по времени, достигала бы бесконечно больших значений.

2.4 Формирование математических моделей электрических схем.

Одним из наиболее распространенных методов формирования и реализации математических моделей электрических цепей является метод переменных состояния. Его применение предполагает разделение всех относящихся к схеме электрической цепи переменных на три множества:

• множество входных переменных U={U₁, U₂,…, U_p};

• множество выходных переменных Y={y₁, y₂,…, y_k};

• множество переменных состояния X={x₁, x₂,…, x_n};

В качестве входных переменных рассматривают задающие напряжения e(t) идеальных источников напряжения и задающие токи j(t) идеальных источников тока , в качестве переменных состояния - токи в индуктивностях i_L(t) и напряжения на емкостях U_C(t), в качестве выходных - все остальные токи и напряжения, которые необходимо определить при расчете.

Математическая модель электрической цепи в методе переменных состояния формируется в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши):

(2.7)

Систему дифференциальных уравнений (2.7) удобно представлять в матричном виде:

(2.8)

где X = [x₁, x₂,…,x_n]^T – одностолбцовая матрица (вектор) переменных состояния; G(t, X) = [g₁(t, X), g₂(t, X),…,g_n(t, X)]^T – n-мерная вектор-функция.

При необходимости определения выходных переменных система дифференциальных уравнений дополняется системой алгебраических уравнений, связывающих выходные переменные с входными и с переменными состояния:

(2.9)

где Y = [y₁, y₂,…,y_k]^T - вектор выходных переменных;

F(X, Y, U) = [f₁(X, Y, U), f₂(X, Y, U),…,f_k(X, Y, U)]^T – k-мерная вектор-функция.

Для линейной электрической цепи с постоянными параметрами математическая модель представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных, а также линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами:

(2.10)

где A,B,C,D - матрицы постоянных коэффициентов уравнений, причем А -квадратная матрица n-ro порядка (n - количество переменных состояния), В-матрица размером n х р{р - количество входных переменных), С – матрица размером k х n (k - количество выходных переменных), D - матрица размером k x p.

Основой формирования математических моделей электрических цепей, содержащих двухполюсные элементы с постоянными параметрами, являются первый и второй законы Кирхгофа и компонентные соотношения (2.1, 2.2) для резистивных, индуктивных и емкостных элементов.

При этом на первом этапе составляется система уравнений:

(2.11)

Здесь I_L, I_R, I_C – одностолбцовые матрицы токов индуктивностей, сопротивлений и емкостей соответсвенно; U_L, U_R, U_C – одностолбцовые матрицы падений напряжения на индуктивностях, сопротивлениях, емкостях; L, С, R - диагональные матрицы индуктивностей, емкостей, сопротивлений; Ф - одностолбцовая матрица, элементы котрой являются функциями указанных переменных. Первые два матричных уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния, а два последних - систему алгебраических уравнений, связывающих переменные состояния с остальными переменными.

На втором этапе формирования математической модели систему уравнений (2.11) преобразовывают к системе только дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и входных переменных. Для этого из системы алгебраических уравнений выражают переменные U_L и I_C через переменные состояния и входные переменные и подставляют их в правые части дифференциальных уравнений из (2.11). Однако при этом возможны осложнения, вызванные неполнотой системы алгебраических уравнений. Если система алгебраических уравнений в (2.11) полная, то есть количество переменных U_L, I_C, I_R, U_R равно количеству уравнений и система разрешима относительно указанных переменных, то преобразование модели к системе только дифференциальных уравнений возможно, а порядок системы дифференциальных уравнений будет равен числу реактивных элементов в схеме. Если же система алгебраических уравнений неполная, то преобразование к системе только дифференциальных уравнений возможно, однако порядок системы дифференциальных уравнений будет меньше числа реактивных элементов цепи. Такие цепи носят название топологически вырожденных. К топологически вырожденным электрическим цепям относятся цепи, содержащие контуры, состоящие из емкостей и идеальных источников напряжения, а также цепи, содержащие звезды, состоящие из индуктивностей и идеальных источников тока.