2.5. Электрические цепи с внешним периодическим воздействием

Электрической цепью с внешним периодическим воздействием называют такую электрическую цепь, хотя бы одна входная переменная которой (задающее напряжение или ток) является периодической функцией времени, а остальные либо также являются периодическими функциями времени, либо постоянными величинами.

Математическая модель такой цепи, представляет собой нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в матричной форме имеющую вид:

(2.12)

где - одностолбцовая матрица (вектор) переменных состояния; - n-мерная периодическая вектор-функция; Т - период внешнего воздействия.

Для линейных электрических цепей с постоянными сосредоточенными параметрами математическая модель (2.1) может быть представлена в виде:

где-n-мерная периодическая вектор-функция внешних воздействии; А - квадратная матрица п-го порядка постоянных коэффициентов дифференциальных уравнений.

При математическом моделировании электрических цепей часто пользуются понятиями мгновенного и динамического состояний электрической цепи. Под мгновенным состоянием электрической цепи понимают совокупность значений всех переменных состояния в произвольный фиксированный момент времени. Под динамическим состоянием (движением, динамикой) подразумевают поведение переменных состояния в течение некоторого временного интервала, в частности, сколь угодно большого. В зависимости от характера изменения переменных состояния, движения электрических цепей подразделяют на стационарные и нестационарные. При стационарной динамике переменные состояния либо не изменяются во времени (стационарные состояния статического типа), либо изменяются периодически (стационарные состояния периодического типа). Все остальные динамические состояния относятся к нестационарным. Среди них, в свою очередь, выделяют переходные состояния {переходные процессы) и стохастические (хаотические) состояния. К переходным относятся такие нестационарные состояния, которые в некоторый момент времени заканчиваются установлением стационарной динамики. Если же переменные состояния изменяются случайным образом (хаотически) и не устанавливается никакое стационарное состояние, то такая динамика носит название стохастической (хаотической).

Для линейных электрических цепей с постоянными сосредоточенными параметрами характерно наличие одного стационарного состояния, которое часто называют установившимся. В случае цепей с внешним постоянным воздействием это стационарное состояние статического типа, а для цепей с внешним периодическим воздействием - стационарное состояние периодического типа, период которого совпадает с периодом внешнего воздействия.

Понятие коэффициента пульсации. Пусть функция времени f(t) периодическая с периодом Г и удовлетворяет условиям Дирихле. В этом случае данную функцию можно представить в виде ряда Фурье:

или

(2.13)

где - круговая частота;,

- коэффициенты разложения функции в ряд Фурье;k - порядковый номер гармонической составляющей; F₀ - постоянная составляющая; F_k - амплитуда k-ой гармонической составляющей; - начальные фазы k-ой гармонической составляющей;

Коэффициентам пульсации по k-ой гармонике называется величина, равная отношению амплитуды k-ой гармоники к постоянной составляющей:

(2.14)

С ростом порядкового номера амплитуды гармонических составляющих уменьшаются. Во многих случаях это позволяет с достаточной степенью точности представить периодическую функцию в виде суммы постоянной и первой гармонической составляющих. В силу данного обстоятельства при характеристике периодических функций коэффициент пульсации по первой гармонике используется чаще других.

Вычисление коэффициента пульсации периодической функции по первой гармонике часто осуществляют, не прибегая к разложению функции в ряд Фурье, по формуле

(2.15)

гдесоответственно максимальное и минимальное значения функцииf (t) на периоде. Если функция f(t) рассчитывается в дискретные моменты времени, то вычисление среднего значения можно приблизительно производить по формуле

(2.16)

где M - количество точек дискретизации функции f(t) на периоде.