2.6. Методы поиска стационарных решений

При реализации математических моделей электрических цепей проблема поиска стационарных решений систем дифференциальных уравнений одна из центральных. Это объясняется тем, что стационарные решения описывают установившиеся состояния, которые для электрических цепей являются обычными состояниями функционирования.

Решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям X(t₀) = Q, будем обозначать X(t, t₀ , Q).

В настоящем пособии рассмотрим методы поиска стационарных решений нормальных систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и внешним периодическим воздействием.

Решение таких систем имеет вид

(2.17)

где X_n(t) - стационарное решение периодического типа, представляющее собой частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

2.2.1. Аналитический метод

Характер частного решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений определяется характером внешнего воздействия нацель.

Пусть внешнее воздействие является периодическим и имеет вид:

(2.18)

В этом случае систему дифференциальных уравнений (2.17) можно представить в виде:

(2.19)

где B₀ - вектор внешних воздействий, соответствующий слагаемому U₀;

- вектор внешних воздействий, соответствующий слагаемому ; - вектор внешних воздействий, соответствующий слагаемому .

Частное решение данной системы уравнений имеет вид:

(2.20)

где Do, D_c, D_s - одностолбцовые матрицы, которые определяются подстановкой (2.19) в (2.20). Опуская промежуточные преобразования, запишем:

(2.21)

где Е - единичная матрица.

2.2.2. Непосредственный метод

Непосредственный метод поиска стационарных периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений основан на возможности записать такое решение в явном виде:

или , (2.22)

где - решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями

Суть непосредственного метода сводится к определению вектора Xn(t₀) начальных условий для периодического решения. Используя условие периодичности

из (2.22) находим

(2.23)

Так как решение является периодическим с периодом Т, то начальный момент времени t₀ достаточно выбирать на интервале [0,Т], то есть . Без ущерба для общности будем выбирать начальный момент времени t₀ = 0, тогда выражение для начальных условий периодического решения (2.23) примет вид

(2.24)

где Х(Т,0) - решение задачи Коши с начальными условиями Х(0) = О

Таким образом, для нахождения периодического решения непосредственным методом необходимо реализовать следующие этапы:

1. решить задачу Коши на одном периоде с нулевыми начальными условиями одним из численных методов; в результате определяется вектор Х(Т,0);

2. вычислить матричную экспоненту e^AT;

3. определить вектор начальных условий периодического решения Х_n(0) по формуле (2.24);

4. решить задачу Коши для исходной системы дифференциальных уравнений на одном периоде с начальными условиями Х(0)=Х_n(0).

На рис. 2.3 представлена блок-схема поиска вектора Х_n(0) начальных условий периодического решения непосредственным методом.

Рис 2.3