3.. . . . . . . . . .

1 2 3 4 5 4. 1 2 3 4 5

. . . . . . . .

9 8 7 6 9 8 7 6

T=[4,5,6,6,6] T=[5,6,6,6]

W={3,7,8,9} W={4,7,8,9}

. . . . . . . . . .

5. 1 2 3 4 5 6. 1 2 3 4 5

. . . . . . . .

9 8 7 6 9 8 7 6

T=[6,6,6] T=[6,6]

W={5,7,8,9} W={7,8,9}

. . . . . . . . . .

7. 1 2 3 4 5 8. 1 2 3 4 5

.. . . . . . .

9 8 7 6 9 8 7 6

T=[6] T=[ ]

W={8,9} W={6,9}

Найдём вершины, не вошедшие в код. Это вершины 1,2,7,8,9. Из условия построения кода это висячие вершины. Создадим множество W={1,2,7,8,9}, содержащее эти вершины. Из вершин множества W выберем вершину 1 с первым элементом кода, т. е. с вершиной 3. Удалим вершину 1 из W и вершину 3 из T.

Вершина 3 больше не встречается в коде, поэтому запишем вершину 3 во множество W: W={2,3,7,8,9}, T=[4,4,5,6,6,6] (рис. 2).

Следующая вершина с минимальным номером из W-2. Соединяем её с вершиной 4 - первым элементом кода (рис. 3). После этого вершина 2 удаляется из W, а вершина 4 из T: W={3,7,8,9}, T=[4,5,6,6,6].

Таким образом при добавлении ребра в дерево выполняются следующие действия:

• i - вершина с min номером в W;

• j - первый по порядку кода T;

• соединить вершины i и j (дописать ребро (i,j) в дерево);

• удалить вершину i из W и j из T, если j более не встречается в коде, то дописать j в W;

• после того, как код стал пустым, в W останется два элемента W={k,l}, добавим в дерево ребро (k,l). Удалим эти элементы из W.

• построение дерева закончено.

Дальнейшее построение дерева показано на рис. 9.

На рис. 10 построенное дерево представлено в плоском виде.

3

. . . . . 4

9. 1 2 3 4 5 10. 1 2

.. . . 5

9 8 7 6

T=[ ], W=  6

9 8

Обход дерева “в ширину”.

Визуально дерево можно разбить на несколько “уровней”(рис. 1)

X₃

уровень 0

X₄ уровень 1

X₁

X₅ X₂ уровень2

X₆ уровень 3

X₇ уровень 4

X₉ X₈

рис. 1

Смысл обхода “в ширину” - отмечать все множество вершин одного “уровня”.

Выберем произвольно начальную вершину обхода. Пусть это будет вершинаX₈. Пусть k=0. Поставим текущей вершине X₈ метку, равную . Вершину X₈ занесем во множество U_k = U₀ = { X₈}(рис. 2). Всем остальным вершинам поставим метки .

Найдём вершины, смежные вершинам из множестваU_k= U₀. Это вершины X₁ и X₄. Запишем их во множество U_k+1= U₁={ X₁, X₃}. Поставим вершине X₁ метку , вершине X₄ - метку (рис. 3).

Увеличим значениеk на единицу - k:=k+1. Найдём вершины, смежные вершинам из множества U_k = U₁. Это вершины X₂ и X₅. Запишем их во множество U_k+1= U₂={ X₂, X₅}. Поставим вершине X₂ метку , вершине X₅ - метку (рис. 4). Увеличим значение k на единицу - k:=k+1. Найдём вершины, смежны вершинам из множества U_k = U₂. Это вершина X₆. Запишем её во множество U_k+1= U₃={ X₆}. Поставим вершине X₆ метку (рис. 5).

Увеличим значение k на единицу - k:=k+1. Найдем вершины, смежные вершинам из множества U_k = U₃. Это вершины X₇ , X₈ , X₉ . Запишем их во множество U_k+1= U₄={ X₇ , X₈ , X₉ }. Поставим вершине X₇ метку , вершине X₈ метку , вершине X₉ - (рис . 6).

Алгортим заканчивает свою работу после того, как были отмечены все вершины дерева.

X₃ X₃

X₄ X₄

X₁ X₁

X₅ X₂ X₅ X₂

X₆ X₆

X₉ X₈ X₉ X₈

X₇ X₇

k=0, U_k ={ X₃} k=1, U₀ ={ X₃}

рис. 2 U₁= { X₁, X₄} рис. 3

X₃ X₃

X₄ X₄

X₁ X₁

X₅ X₂ X₅ X₂

X₆ X₆

X₉ X₈ X₉ X₈

X₇ X₇

k=2, U₀ ={ X₃} k=3, U₀ ={ X₃}

U₁= { X₁, X₄} U₁= { X₁, X₄} U₂= { X₂, X₅} U₂= { X₂, X₅}

рис. 4 U₃={ X₆}. рис. 5

X₃

X₄

X₁

X₅ X₂

X₆

X₉ X₈

X₇

k=4, U₀ ={ X₃}

U₁= { X₁, X₄}

U₂= { X₂, X₅}

U₃={ X₆}.

U₄={ X₇ , X₈ , X₉ }. рис. 6

задание №10.

Найдите цикломатическое число графа G₂. Постройте остовное дерево графа G₂. Постройте базис из независимых циклов графа G₂. Проставьте произвольную ориентацию рёбер графа и постройте вектор - цикла для циклов из базиса. Постройте цикломатическую матрицу графа G₂.

X₁ X₄

X₂ X₅

X₁ X₆

G₂

Пронумеруем вершины графа в произвольном порядке.

Цикломатическое число графа ( G₂)= m-n+k(G₂).

В графе G₂ число вершин - |x|=6, число рёбер - |V|=8, граф связный, следовательно число компонент связности - k(G₂)=1. Тогда цикломатическое число графа ( G₂)=8-6+1=3.

Построим остовное дерево графа. Из исходного графа для получения остоновного дерева необходимо удалить ровно( G₂)=3 ребра. Строим остовное дерево, используя алгоритм обхода графа “в ширину”. Начнём обход с вершины X₁. Поставим вершине метку . всем остальным вершинам метки . Вершине X₁ смежны вершины X₂, X₃, X₄. Меткам вершин X₂, X₃, X₄ присвоим значение .

Запишем в дерево рёбра (X₁, X₂), (X₁, X₃), (X₁, X₄). Нфйдём вершины смежные вершинам X₂, X₃, X₄, метки которых равны . Это вершины X₅, X₆, смежные вершинам X₃, X₄. Меткам вершин X₅, X₆ присвоим значение . Рёбра (X₃, X₅), (X₄, X₆) запишем в дерево. На этом построение остовного дерева заканчивается, т. к. были отмечены все вершины.

Построенное остовное дерево указано на рис 1.

X₃ X₄

X₂ X₅

X₁ X₆

рис 1.

Используем построенное дерево для построения базиса из независимых циклов.

По теореме 5.8. базис графа G₂ состоит из трёх циклов.

Построим их. Добавим в отовное дерево графа G₂ ребро (X₂, X₄) не входит:  ₂= X₃ X₆ X₄ X₁ X₉. Добавим последнее удалённое ребро (X₅, X₆). Построим цикл, в который ребро (X₅, X₆) входит, а рёбра (X₂, X₄), (X₃, X₆) не входят:  ₂= X₁ X₃ X₅ X₆ X₄X₁. Циклы  ₁,  ₂,  ₃ составляют базис их независимых циклов.

Проставим произвольную ориентацию рёбер графа G₂ (рис. 2)

X₃ X₄

VI

II

X₂ III V X₅