Томский государственный университет

систем упрвления и радиоэлектроники.

Спецглавы математики 2.

Контрольная работа №1.

Вариант №8.

Задание №1.

Представьте графы G₀ и G₁ различными способами ( по четыре для каждого графа). 2

V VI  

2 4 

1 3

 VIII IV

  VII

6 4

1

3 VI V

G₀ 5 G₁

Решение.

Прнумеруем произвольно вершины и рёбра графа G₀. В графе G₀ 4 вершины и 5 рёбер, следовательно, матрица смежности графа G₀ - матрица A(44), матрица инцидентности - B(45):

0 1 0 0 1 0 0 0 0

A(G₀)= 0 1 1 0 B(G₀)= -1 1 0 0 2

0 0 0 0 0 -1 -1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 2 0

Составим структуру смежности графа G₀:

вершине 1 смежна вершина 2 - 1:2;

вершине 2 смежны вершины 2,3 - 2:2,3;

у вершины 3 нет смежных вершин - 3: ;

вершине 4 смежны вершины 3,4 - 4:3,4.

Составим список рёбер орграфа G₀. Размерность массивов начальных и конечных вершин в списке рёбер равна m= 5.

NR₀= (1,2,4,4,2).

KR₀= (2,3,3,4,2).

Пронумеруем произвольно вершины и рёбра графа G. В графе G 6 вершин и 8 рёбер, следовательно, матрица смежности графа G - матрица A(66), матрица инцидентности - B(68):

0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

A(G) = 1 1 0 1 0 0 B(G)= 0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Построим структуру смежности для неорграфа G. Это шесть связных списков,

вершине 1 смежны вершины 2,3,6 - 1:2,3,6;

вершине 2 смежны вершины 1,3 - 2:1,3;

вершине 3 смежны вершины 1,2,4 - 3 - 1,2,4;

вершине 4 смежны вершины 3,5,6 - 4:3,5,6;

вершине 5 смежны вершины 4,6 - 5:4,6

вершине 6 смежны вершины 1,4,5 - 6:1,4,5.

Построим список рёбер для неорграфа G. Так как в неорграфах одна вершина может быть и началом и концом ребра, то размерность массивов начальных и конечных вершин в списке равна 2*m= 2*8=16.

NR={1,2,2,3,3,1,3,4,4,5,5,6,4,6,6,1}.

KR={2,1,3,2,1,3,4,3,5,4,6,5,6,4,1,6}.

Задание №2.

Запишите алгоритм (или составте программу) выделения компонент связности по матрице смежности.

Решение.

Пусть задана матрица смежности A размерностью (nxn), где n - количество вершин графа G.

a_ij - элемент матрицы A, 1 i  n, 1 j  n.

1. По матрице смежности A составляем матрицу достижимости R, используя алгоритм построчного сложения или по формуле R= E AA²A³…, где E - единичная матрица размерности (nxn),

A^l - матрица смежности графа в l - той степени.

Вычисления проводятся до тех пор, пока при очередном выполнении

дизъюнкции измеряется матрица R.

2. По матрице достижимости R выделяем компоненты связности. В начале

алгоритма число компонент связности полагается равным единице p:=1. Во

множество S_p записываем вершины, входящие в компоненту связности с

номером p.

Из матрицы R вычёркиваем столбцы, в которых первый элемент

единичный. Номера столбцов записываем во множество S_p. Первая

компонента связности - подграф на вершинах с номерами из множества S_p.

Затем из матрицы R вычёркиваем строки с такими же номерами. Получаем

матрицу R^. Если не вычеркнумы все столбцы из матрицы R, то число

компонент связности увеличивается на единицу p:= p+1. Вычеркнем из

матрицы R^ столбцы и строки с номером n₁, n₂, …, n_k, если первый элемент

в столбце n₁, n₂, …, n_k - единица. Номера столбцов записываем во

множество S_p+1. Вторая компонента связности - подграф на вершинах с

номерами из множества S_p+1. После вычёркивания получается матрица

R^.

На третьем этапе выполняем действия, описанные ранее с изменённой

матрицей достижимости R^.

Алгоритм заканчивает работу, если в матрице достижимости вычеркнуты

все строки и столбцы.

Задание №3.

Изоморфны ли графы G₁ и G₂?

Решение.

3

3 4

2 4

2 5

1 5

1 6

6

G₁

Для того, чтобы два графа G₁(X₁, V₁) и G₂(X₂, V₂) были изоморфны, необходимо чтобы выполнялись равенства |X₁|=|X₂|, |V₁|=|V₂|. Проверим выполнение этих условий для заданных графов.

|X₁|=6 |X₂|=6

|V₁|=8 |V₂|=8.

Далее сравним степени вершин в графе G₂ со степенями вершин в графе G₁.

Граф G₁: ₁(1)=3, ₁(2)=3, ₁(3)=2, ₁(4)=3, ₁(5)=3, ₁(6)=2.

Граф G₂: ₂(1)=3, ₂(2)=2, ₂(3)=3, ₂(4)=3, ₂(5)=2, ₂(6)=3.

У графов одинаковое количество вершин со степенью 2 и со степенью 3.

Построим соответсвие : x₁ x₂ следующим образом:

(1)=3, (2)=1, (3)=2, (4)=4, (5)=6, (6)=5.

Установленное соответсвие является биекцией, сохраняющей смежность. Это легко увидеть, пересовав граф G₂, как показано на рисунке:

2

1 4

3 6

5

Следовательно, графы G₁ и G₂ изоморфны.

Задание №4.

Запишите бинарное соотношение, заданное графом G₀. Какими свойствами оно обладает?

Решение.

2

4

1

3

G₀

Пронумеруем вершины графа произвольным образом. Запишем бинарное соотношение, заданное орграфом G₀, перечислением, считая, что элементы множества x₀- вершины графа, тогда элементами бинарного соотношения G_b будут дуги орграфа G_b= {(1,2), (2,2), (2,3), (4,3), (4,4)}.

Отношение G_b не обладает свойством рефлексивности, так как не выполняется условие (x,x)R, xx₀ или xRx, xx₀, пары (1,3), (3,3)  G₀. Не у всех вершин графа есть петли.

Отношение G_b не обладает свойством антирефлексивности, так как не выполняется условие (x,x)R, xx₀, пары (2,2) и (4,4) G₀. Свойство антирефлексивности предполагает отсутствие петель в графе.

Отношение не обладает свойством симметричности, так как не выполняется условие xRyyRx, x,yx₀. В графе G₀ есть пары (1,2), (2,3), (4,3), но нет пар (2,1), (3,2), (3,4).

Отношение G_b обладает свойством антисимметричности, т. к. выполняется условие (x,y)R и (y,x)Rx=y, x,yx₀. В орграфе G₀ нет ниодной пары вершин x, y такой, что если x смежна вершине y, то и вершина y смежна вершине x, но допускаются петли.

Отношение не обладает свойством несимметричности, т. к. не выполняется условие (x,y)R(y,x)R, x,yx₀, потому что в графе есть петли (2,2) и (4,4).

Отноешнение не обладает свойством транзитивности, т. к. не выполняется условие (x,y)R и (y,z)R(x,z)R, x,yx₀. В графе вершина 1 смежна вершине 2, вершина 2 смежна вершине 3, но вершина 1 не смежна вершине 3.

Задание №5.

Является ли граф G₂ планарным? Если да, то изобразите изоморфный ему плоский граф.

Решение.

По критерию Понтрягина- Куратовского граф не планарный, если в нём можно выделить подграф K₅ или K_3,3.

Проверим, можно ли выделить в графе G₂ подграф K₅.

Рассмотрим все возможные подграфы графа G₂, множество вершин которых состоит из 5 элементов.

Для этого из графа G₂ поочерёдно по одной вершине, всего можно рассмотреть 6 таких подграфов:

4

3 4 3 4

2 5 5 2 5

6 1 6 1 6

3 3 4

3 4

5

2 2

1 6 2 5

1 6

1

Не из из построенных графов не является K₅ (полным графом, у которого 5 вершин). Таким образом, граф G₂ - планарный граф. Изоморфный ему плоский граф изображён на рисунке:

4 6

2 5

1 3

Задание №6.

Запишите матрицы достижимости и взаимодостижимости для графа G₀. Выделите сильные компоненты графа.

2

4

1

3

G₀

Решение.

Прнумеруем произвольно вершиня графа.

Строим матрицу достижимости R.

Размер матрицы 44.

Из вершины 1 можно попасть в вершины 2,3. Вершина 1 достижима сама мз себя.

Из вершины 2 можно попасть в вершины 2,3.

Из вершины 3 можно достигнуть только себя.

Из вершины 4 можно попасть в вершины 3,4.

Матрица достижимости:

1 1 1 0

R= 0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 1 1

Чтобы построить матрицу взаимодостижимости, построим матрицу контрдостижимости P, которая равна транспонированной матрице достижимости P= R^T.

1 0 0 0

P= 1 1 0 0

1 1 1 1

0 0 0 1

элементы матрицы взаимодостижимости вычисляются по формуле

S_ij= r_ijp_ij.

Матрица взаимодостижимости S:

1 0 0 0

S= 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Выделяем сильные компоненты графа по S:

Это подграфы G₁, G₂, G₃, G₄:

1 3

2 4

нуль граф G₁ G₂ нуль граф G₃ G₄

Задание №7.

Найдите диаметр, радиус, центры графа G₁.

3

2 4

1 5

6

G₁

Решение.

Построим матрицу минимальных расстояний D графа G₁.

0 1 2 2 1 1 2

1 0 1 1 2 2 2

D= 2 1 0 1 2 3 F= 3

2 1 1 0 1 2 2

1 2 2 1 0 1 2

1 2 3 2 1 0 3

Выберем максимальные элементы из каждой строки D и запишем их вектор F.

Максимальный элемент вектора F - диаметр графа G ,

равен 3, D(G)=3.

Минимальный элемент вектора F- радиус графа G,

равен 2, r(G)=2.

Если _i= r(G), то вершина i - центр графа. Тогда центром графа G являются вершины 1,2,4,5.

Задание №8.

Возможно ли нарисовать граф G₂ не отрывая руки от бумаги? Обоснуйти ответ. Если возможно, запишите произвольный эйлеров цикл или цепь.

3 4

2 5

1 6

Решение.

Граф можно нарисовать, не отрывая руки от бумаги, не обводя дважды ни одно из ребер, если выполныется одно из двух условий. По теореме Эйлера, в графе можно выделить эйлеров цикл, если степени всех вершин графа четные. Либо, если в графе ровно 2 вершиныс нечётной степенью, то в графе можно построить эйлерову цепь.

Рассчитаем степени всех вершин графа:

(1)=3, (2)=2, (3)=3, (4)=3, (5)=2, (6)=3.

У нас не выоплняется ни одно из двух условий, поэтому граф нельзя нарисовать, не отрывая руки от бумаги, в графе невозможно выделить эйлеров цикли построить эйлерову цепь.

Задание №9.

Продемонстрируйте алгоритм обхода дерева “в ширину”. Дерево постройте по заданному коду (3,4,4,5,6,6,6).

Решение.

Строим дерево по коду T=[3,4,4,5,6,6,6]. В коде 7 элементов, следовательно, в дереве 7+2=9 вершин. Изобразим эти 9 вершин и пронумеруем их в произвольном порядке(рис. 1).

. . . . . . . . . .

1. 1 2 3 4 5 2. 1 2 3 4 5

. . . . . . . .

9 8 7 6 9 8 7 6

T=[3,4,4,5,6,6,6] T=[4,4,5,6,6,6]

W={1,2,7,8,9} W={2,3,7,8,9}