4- 8_Спецглавы математики-3

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники.

Спецглавы математики 3.

Контрольная работа №4.

Вариант №8.

(Исправления).

1. Построить таблицу истинности для формулы:

_{5 4 6 1 3 2}

A→BC(A→B)(A→C).

1. Учитывая приоритет логических операций, определим порядок действий

2. Т.к. операндов 3 (А,В,С), то в таблице истинности будет 2³=8 строк

3. Выполним действия в указанном порядке:

			A→B	A→C	(A→B)(A→C)	BC	A→BC	5→3
A	B	C	1	2	3	4	5	6
И	И	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	И	Л	Л	Л	Л	И
Л	Л	И	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И	И	И	И	И

4. При любых значениях переменных формула принимает значение «истина». Это тавтология.

3. Записать формулу в ДНФ: ((AB)(CD))C.

AB  CD C

1) Строим F₁F такую, что F₁ содержит только связки , , 

AB  CD C  ((AB)(CD))  ((AB)(CD))С 

 ((AB)(CD))  (ABCD)С  F₁.

2) Преобразуем F₁ и F₂  F₁, так что в F₂ знак  стоит только перед высказывательными переменными:

Восп-ся законом де Моргана:

F₁ = ((AB)(CD))  (ABCD)С ((AB)(CD))(ABCD)С 

 (((AB)  (CD))(ABCD))С  (((AB)(CD))(ABCD))С= F₂

3) Преобразуем F₂ и F₃  F₂, пользуясь первым дистриб. законом.

F₂  [((АВ)(ABCD))((CD)(ABCD))]С

 [((АВA) (AВВ) (AВC) (AВD) (CDA) (CDB) 

(CDC) (CDD)] С (AВCC)(AВDC)(CDBC) 

 (AВCD)  (ACD)  (CDB).

4. Проверить сокращенным способом является ли логически правильным рассуждение: «Либо аудитория была закрыта, либо, если преподаватель опоздал, то все студенты ушли в столовую. Если аудитория не была закрыта, то преподаватель не опоздал. Если все студенты ушли в столовую, то преподаватель опоздал. Следовательно, аудитория не была закрыта».

ДКР

Д К

РК

Д

Предположим, что набор (Д₀, К₀, Р₀,) такой, что посылки истины, а заключение ложны.

№	истина	ложь	примечания
1	Д0К0Р0		Предполагаем, что посылки истинны,
2	Д0К0
3	Р0К0
4		Д	а заключение ложно.
5	К0		из 2 и 4 опр. импликации
6		Р0	из 3 и 5 опр. импликации
7		К0	из 2 и 4 опр. импликации
8	Р0		из 3 и 4 опр. импликации
9		К0	из 2 и 4 опр. импликации
10		Р0	из 3 и 4 опр. импликации
11		Д0К0Р0	из 2,3,4 опр. импликации и эквивалентности.

Получим противоречие между 1 и 11 строкой таблицы. Сл-но, рассуждение является логически правильным.

5. Представить формулу в СНДФ и в СКНФ: (x→y)→z.

В СНДФ: F(x,y,z): (x→y)→z.

Приведем формулу F к ДНФ:

(x→y)→z (xy)→z  ( xy)z (xy)  z  (xy)  z.

Формула F не является тождественно ложной, след-но по теореме 5 существует СДНФ формулы F.

Применим формулу расщепления:

F(x,y,z)=(xy)  z  ((xy) (zz))  (z ((xx)(yy))  ((xyz) 

 (xyz))  (((zx)  (zx)) (yy)))  ((xyz)( xyz))((zxy)

 (zxy))  (zxy) (zxy)  (xyz)  (xyz)  (xyz)  (xyz)

 (xyz)  (xyz) (xyz) (xyz )  (xyz)  (xyz)  (xyz) -

- СДНФ

Тогда СКНФ: F(x,y,z) = (xyz)  (xyz)  (xyz).