Курсовой_Спецглавы математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ТУСУР.

КАФЕДРА: АОИ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:

г. Нефтеюганск 2007г.

Временной ряд: объем исходящих местных телефонных соединений (в минутах)

Рассчитаем показатели динамики и представим их графически.

	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Объем исх соед (в минутах)	154	296	244	90	54	256	196	240	298
Абсолютный прирост Ai=yi - yi-1	0	142	-52	-154	-36	202	-60	44	58
Коэффициэнт роста K=yi / yi-1	0	1,92	0,82	0,37	0,60	4,74	0,77	1,22	1,24
Процент прироста Ti=(Ai/yi-1)100%	0	92,2	-17,6	-63,1	-40,0	374,1	-23,4	22,4	24,2
Значение 1% прироста Пi=Ai/Ti	0	1,54	2,96	2,44	0,9	0,54	2,56	1,96	2,4

Уровень динамики по месяцам представим на диаграмме

Чтобы сгладить влияние случайных факторов, рассмотрим усредненные данные:

В нашем моментном ряду промежутки времени равны, поэтому

Средний абсолютный прирост (142-52-154-36+202-60+44+58)=18 мин

Средний коэффициент роста 1,09

Средний темп роста =(1,09-1)100= 9 мин

Выравнивание динамического ряда проведем с помощью среднего абсолютного прироста

,

X₀=154+18*0=154

X₁=154+18*1=172

X₂=154+18*2=190

X₃=154+18*3=208

X₄=154+18*4=226

X₅=154+18*5=244

X₆=154+18*6=262

X₇=154+18*7=280

X₈=154+18*8=298

0	1	2	3	4	5	6	7	8
154	172	190	208	226	244	262	280	298

Проанализируем поведение временного ряда и укажем компоненты, которые следует включить в модель.

Проверим гипотезу о существовании тренда. Рассмотрим критерий Фостера- Стюарта.

Основная гипотеза Н₀: тренда нет, колебания ВР чисто случайны.

Альтернативная гипотеза Н₁: тренд есть

Для ряда наблюдений х_0, х₁, …, х_n-1 обозначим

1 , x₁> xt-1, xt>xt-2,…, xt>x0

0_, если хотя бы одно неравенство нарушено;

1 , x₁> xt-1, xt>xt-2,…, xt>x0

0_, если нет

0	1	2	3	4	5	6	7	8
154	296	244	90	54	256	196	240	298
Ut	0	0	0	0	0	0	0	0
Lt	1	0	0	0	1	0	1	1
Ut-lt	-1	0	0	0	-1	0	-1	-1

Рассмотрим статистику = (-1+0+0+0-1+0-1-1)= -4. Эта статистика имеет распределение Стьюдента:

= -2,2

= 1,82

Если наблюдаемое значение статистики попадает в критическую область, основная гипотеза отвергается. В нашем случае , т.е. попадает в критическую область, значит, принимаем гипотезу Н₁: тренд есть.

При построении модели ВР в качестве тренда подберем гладкую медленно меняющуюся функцию времени.

Проверим гипотезу о наличии периодической составляющей:

Основная гипотеза Н₀ : колебания случайны.

Альтернативная гипотеза Н₁ : есть периодическая составляющая.

Проверим гипотезу с помощью критерия поворотных точек.

Дан ряд наблюдений х_0, х₁, …, х_n Назовем точку х_i поворотной, если выполняется одно из двух условий:

Xi>Xi-1	или	Xi<Xi-1
Xi>Xi+1		Xi<Xi+1

0	1	2	3	4	5	6	7	8
154	296	244	90	54	256	196	240	298

X₁ = 296- пик

X₄ = 54- впадина

X₅ = 256- пик

X₆ = 196 – впадина

Рассмотрим случайную величину

1, если x_i – поворотная точка

0_, если нет

0	1	2	3	4	5	6	7	8
154	296	244	90	54	256	196	240	298
	1	0	0	1	1	1	0

По результатам наблюдений вычисляем экспериментальное значение статистики – количество поворотных точек -

Математическое ожидание статистики М(П) = 2/3 (n-1) = 2/3 (8-1) = 14/7 =4,7

Так как П_наблМ(П), то принимаем основную гипотезу: колебания случайны.

Распределение статистики П асимптотически нормально с параметрами М(П) =2/3 (n-1) = 4,7 и

1,28, т.е

Анализ остатков временного ряда

Основная гипотеза Н₀: остатки случайны, Н₁: есть зависимость между остатками ВР

Зададим последовательность остатков временного ряда

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
yi	154	296	244	90	54	256	196	240	298
Xi	154	172	190	208	226	244	262	280	298
= Y i- Xi	0	124	54	-118	-172	12	-66	-40	0
знаки	+	-	-	-	+	-	+	+

Определим знаки разностей при и запишем их в виде последовательности + и - . Получили последовательность + - - - + - + +, содержащую 5 серий подряд идущих одинаковых знаков.

Обозначим S=5 общее количество серий, а К_max= 3 – протяженность самой длинной серии.

Остатки случайны, если

,

- критическая точка (С_0,05=1,96, С_0,01= 2,57)

5, n

К₀(n) = 6, 26<n<153

7, 153<n< 1000

В нашем случае n = 8 , значит, К₀(8) = 5

S = 5 >

Два условия выполнены, значит, основная гипотеза принимается, т.е. остатки случайны.

Таким образом, в модель временного ряда включаем тренд. Для построения тренда используем функцию y= b₀+b₁x

Коэффициенты уравнений подберем по экспериментальным данным методом наименьших квадратов

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	36
Y	154	296	244	90	54	256	196	240	298	1674
X2	0	1	4	9	16	25	36	49	64	204
XY	0	296	488	270	216	1280	1176	1680	2384	7790

36 b₁+ 8 b₀ = 1674

204 b₁ + 36b₀ = 7790 , решение системы b₁=6,1 , b₀=181,8

Таким образом, уравнение тренда имеет вид y = 181,8 + 6,1 x

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	182	188	194	200	206	212	218	225	231

Оценим качество моделирования по критерию

, где

k =2 - количество коэффициентов в уравнении регрессионной модели.

, таким образом, отвергается гипотеза Н₀: о незначимой разнице между общей и остаточной дисперсией, т.е. рассматриваемая модель адекватна

Для прогнозирования ВР воспользуемся методом экспоненциального сглаживания.

Этот метод позволяет придавать больший вес относительно недавним наблюдениям, регулируя его с помощью параметра , подбираемого экспериментально

S_t = *X_t + (1-)*S_t-1

Результаты применения метода экспоненциального сглаживания

		0.5	0.33	0.25
апрель	154	154	154	154
май	296	225	201	190
июнь	244	235	215	203
июль	90	162	174	175
август	54	108	134	145
сентябрь	256	182	174	172
октябрь	196	189	182	178
ноябрь	240	215	201	194
декабрь	298	256	233	220

Эти данные можно представить в графической форме:

Результаты экспоненциального сглаживания могут быть использованы для краткосрочных прогнозов на один шаг вперед по временной шкале. Так, для представленных данных можно сделать прогноз объема исходящих местных телефонных соединений (в минутах) на январь. Поскольку при прогнозировании используют высокие значения коэффициента сглаживания, то мы можем воспользоваться уже рассчитанными значениями при  = 0.5.

Прогнозным значением на 1 период вперед будет сглаженное значение в последней точке ряда и таким образом объем исходящих местных телефонных соединений (в минутах) в январе равен сглаженному значению декабря, т.е. 256 минут

Рассмотрим 2/3 данного временного ряда и построим прогноз на оставшуюся часть ряда

		0.5	0.33	0.25
апрель	154	154	154	154
май	296	225	201	190
июнь	244	235	215	203
июль	90	162	174	175
август	54	108	134	145
сентябрь	256	182	174	172
ср. знач	182	178	175	173

Прогнозом на оставшуюся часть ряда будет являться сглаженное значение в последней точке ряда и таким образом объем исходящих местных телефонных соединений (в минутах) в октябре, ноябре и декабре равен сглаженному значению сентября при = 0,5 , т.е. 182 минуты

Прогноз может быть построен с помощью модели линейного роста, например, следующего вида

, где -текущие оценки коэффициентов модели в момент времени t;

- период упреждения прогноза.

В качестве начальных значений оценок коэффициентов модели можно взять средние значения ряда.

Оценки коэффициентов модели рассчитаем по формулам

Результат расчетов:

212 25,

тогда прогноз на октябрь y = 212+1*25= 237

на ноябрь y = 212+2*25 = 262

на декабрь y = 212+3*25 = 287.

Сравнив полученный прогноз со значениями исходящих звонков в минутах с данными в последней трети динамического ряда, а именно 196, 240, 298, приходим к выводу, что построенная модель может давать прогноз с небольшими ошибками.

Для визуального сравнения построим в одних осях графики данного ВР, выравненного ВР, тренда и прогноза на последнюю треть ряда.