2- 7_Спецглавы математики

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Факультет систем управления

(дистанционная форма обучения)

Кафедра автоматизиции обработки информации (АОИ)

Контрольная работа № 2

по дисциплине “Спецглавы математики - 1”

автор учебного пособия: Смыслова З. А.

Специальность: 220200

Выполнил

“ __”_августа__ 2002 г.

Принял:

________________________________

(ФИО преподавателя)

__________________

(оценка)

“ _____”___________ 2002 г.

2002 г.

Вариант 7

1. Поехали как-то три богатыря на поиски противника. А навстречу им два Змея-Горыныча. Сколько у них способов составить одну пару для поединка? Какое правило используется при решении задачи?

Решение:

Богатыря для поединка можно выбрать тремя способами, а после этого Змея-Горыныча можно выбрать двумя способами. Пару для поединка (богатырь, Змей-Горыныч) можно выбрать 32 = 6 способами. Здесь при решении задачи используется правило произведения.

Ответ: 6 способов.

2. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии, что они поедут в разных вагонах?

Решение:

По условию задачи в 9 вагонов необходимо разместить 4 человек, т.е. n = 9, r = 4. Порядок важен? Да, выбираем правую часть блок-диаграммы. Следующий вопрос: Выбираем все n элементов? Нет. Повторения есть? Нет. Следовательно, наша выбрка - размещение без повторений и количество таких выборок

Ответ: 3024.

3. В библиотеке стоят три одинаковых учебника по математике и четыре разных по программированию. Сколькими способами их можно расставить на полке?

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с перестановкой с повторением состава. Множество состоит из 5 различных элементов {m, p1, p2, p3, p4}. Здесь m - учебник математики, p1,...,p4 - учебники по программированию.

Запишем перестановку с повторением состава (3, 1, 1, 1, 1). Ее длина n = 3+1+1+1+1 = 7, причем элемент m входит 3 раза, а все остальные по одному разу. Количество таких перестановок равно

Ответ: 840.

4. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались две “двойки” (“двойка” - пара карт одного номинала) ?

Решение:

В колоде четыре масти карт. Следовательно всего 32:4 = 8 номиналов карт. Внутри каждого номинала можно составить пар (“двоек”) карт. Общее число “двоек” в колоде будет 68 = 48.

Из 48 “двоек” необходимо выбрать две, при этом порядок значения не имеет, поэтому число таких сочетание из 48 по 2:

После этого в колоде останется 32 - 4 = 28 карт, каждая из которых может претендовать на роль 5 карты в выборке. Следовательно, число способов выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались две “двойки” будет равно 281128 = 31584.

Ответ: 31584.

5. Решить уравнение .

Решение:

Для решения уравнения воспользуемся формулой:

Имеем,

Следовательно, n - 2 = 20, т. е. n = 22.

Ответ: n = 22.

6. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вычислить приближенное значение с точностью до = 0,001.

Решение:

Формула приближенного вычисления бинома Ньютона имеет вид:

По приведенной выше формуле имеем:

== 1+60,025+++...+.

Оценим третье слагаемое:

=150,000625>0,009>=0,001.

Оценим четвертое слагаемое:

=200,000015625<0,0004<=0,001,

остальные слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые, начиная с четвертого, можно отбросить. Тогда

1+60,025+=1,159.

Ответ: 1,159.

7. Выполнить действия над подстановками:

Решение:

Воспользуемся свойством асоциативности операции композиции подстановок:

= ==

==.

Ответ: .

8. Построить группу симметрий фигуры:

I

1

II

5

2

III

O

4

IV

3

Решение:

Занумеруем вершины правильного пятиугольника и оси симметрий. Обозначим O - центр симметрий пятиугольника.

В группу самосовмещений войдет тождественное перемещение - поворот вокруг точки O на 0; повороты вокруг этой точки на 72; на 144; на 216 и 288 (угол поворота определяется по формуле 360/n = 360/5=72, где n - кол-во вершин правильного многоугольника);

повороты относительно четырех осей симметрии. Итого, получаем девять элементов группы симметрий.

Тождественное перемещение описывает тождественная подстановка

. Врашения на 72, 144, 216 и 288 - подстановки

, , и соответственно.

Поворот относительно оси I описывает подстановка ; относительно оси II - подстановка ;

оси III - ; оси IV - .

Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений правильного пятиугольника:

Литература.

1. Смыслова З. А. Спецглавы математики (теория множеств, комбинаторика, математическая логика, основы теории групп)., ч.1, Томск, 2000 г.