2. Табличный метод определения истинности сложных суждений.

Приведенные в первом пункте таблицы истинности позволяют установить истинность или ложность только тех сложных суждений, которые состоят из двух простых. Если сложное суждение включает в свой состав три и более простых суждения, то для определения его истинности (ложности) используются различные логические приемы, и самый простой из них – табличный. Суть его в том, что необходимо перебрать все истинностные значения переменных, составляющих данное сложное суждение.

Еще до построения таблицы, только имея перед собой формулу данного суждения, можно определить, как будет выглядеть искомая таблица.

Так, если в формуле только одна переменная (допустим, А), то в таблице истинности будет две строки: одна для случая, когда А истинно, другая – для случая, когда А ложно. Если в формуле две переменных, то в таблице истинности будет уже 2·2 = 2² = 4 строки; если три, то 2·2·2 = 2³ = 8 строк; если четыре, то 2·2·2·2 = 2⁴ = 16 строк и т. д.

Для общего случая в n переменных число строк в таблице истинности будет равняться 2ⁿ строк.

Приведем в качестве примера первые три столбца таблицы истинности для формулы, содержащей три переменных – А, В и С:

А	В	С
И	И	И
И	И	Л
И	Л	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	И	Л
Л	Л	И
Л	Л	Л

Можно заранее определить и количество столбцов в таблице, которую мы будем строить. Оно равняется числу логических знаков в данной формуле, включая отрицание, плюс по одной колонке для каждой переменной. Например, если дана формула:

((А→В) ٨ (А→С) ٨ (¬В۷¬С)) → ¬А,

то мы можем сразу сказать, что в таблице истинности для нее будет 8 строк (так как здесь три переменных) и 12 столбцов (так как здесь 9 логических знаков, с отрицаниями, плюс столбец для каждой из трех переменных).

После заполнения всех строк истинностной таблицы некоторого сложного суждения возможен один из трех вариантов:

1. Формула во всех строках таблицы приняла значение «и» («истинно») – такая формула называется тождественно-истинной формулой (ТИФ), или законом логики, или тавтологией;

2. Формула во всех строках таблицы приняла значение «л» («ложно») – такая формула называется тождественно-ложной формулой (ТЛФ), или противоречием;

3. Формула в одних строках таблицы приняла значение «и», а в других – «л» – такая формула называется выполнимой.

Проверим с помощью указанного метода уже известные нам законы логики, например, закон непротиворечия ¬ (А٨¬А):

А	¬А	А٨¬А	¬ (А٨¬А)
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И

Или закон исключенного третьего А۷¬А:

А	¬А	А۷¬А
И	Л	И
Л	И	И

Как видим, таблицы подтверждают, что данные формулы выражают логические законы.

Естественно, что табличный метод может служить для проверки и более сложных формул, например, с двумя переменными. Построим таблицу для формулы (А→В) ≡ (¬В→¬А).

А	В	А→В	¬В	¬А	¬В→¬А	(А→В) ≡ (¬В→¬А)
И	И	И	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

Данная формула тоже оказалась тождественно-истинной.