2_1matmod

6.Классификация моделей в соответствии с целями моделирования (регрессионные, имитационные и

13.Динамические модели. Используемый математический аппарат. Фазовое пространство. Фазовая

15.Учет временной иерархии процессов при построении динамических моделей («быстрые»,

20.Компартментальные модели круговорота углерода. Процесс-ориентированные модели.

21.Организм-ориентированные модели. Микробные модели динамики органического вещества

Первый вопрос

1. Математизация науки. Математизация почвоведения.

Характерной чертой современной науки является математизация. Слово «математика» древнегреческое, означающее «точное знание». В античном мире рассматривали математическое знание, как идеал научного знания. В дальнейшем понимание роли математики было сохранено и преумножено.

В эпоху возрождения Леонардо да Винчи писал: "Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства".

Позднее в 1605 году английский философ Фрэнсис Бэкон в своем знаменитом сочинении «Великое восстановление наук. Разделение наук» писал: писал: «В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи вмешательства математики».

Галилей в хорошо известном сочинении «Пробирных дел мастер» (1623) писал: «Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, — я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики».

ВXIX веке Фурье в классической работе «Аналитическая теория тепла» (1822) обсуждал достоинства математического подхода:

«Главная отличительная особенность [математического подхода] — его ясность; в нем нет символов, которые выражали бы смутные идеи. Он сводит вместе самые различные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии.

Даже если материя ускользает от нас, подобно воздуху и свету, по причине своей крайней тонкости, даже если мы хотим понять, как выглядят небеса на протяжении последовательных периодов, разделяемых многими столетиями, даже если сила тяжести и тепло действуют внутри земного шара на глубинах, которые навсегда останутся недоступными, математический анализ позволяет постичь законы всех этих явлений, Он делает их как бы видимыми и измеримыми и, должно быть, является способностью человеческого разума, призванной возместить кратковременность жизни и несовершенство наших чувств.

Но еще более замечательно, что при изучении всех явлений математический анализ следует одному и тому же методу: он переводит все эти явления на один и тот же язык, как бы подчеркивая единство и простоту структуры окружающего нас мира и делая еще более заметным незыблемый порядок, правящий в природе всей материей.»

Вшироко известной книге E. Вигнера «Этюды о симметрии» (1971) опубликован его доклад: «Непостижимая эффективность математики в естественных науках», одной из тем которого было утверждение, что

между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы.

Различные науки имеют разный уровень математизации.

Исполнилось уже более 200 лет известному высказыванию Канта: «... я утверждаю, что в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики».

Наиболее математизированной наукой является физика. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? (Арнольд, 1999).

Степень математизации науки можно характеризовать по тому, какие математические модели она использует и насколько широко.

Этап математизации дисциплины начинается тогда, когда ей не хватает того естественного языка, с которого начиналось ее становление, когда возможности этого языка для прогресса науки оказались исчерпанными.

Но введение нового языка всегда требует генеральной перестройки дисциплины. Появляются не существовавшие ранее разделы, меняется значение эксперимента, его направленность и т. д. С новым языком возникают и новые критерии, происходит переоценка ценностей. Иными словами, идет естественное расширение языка научной дисциплины за счет включения в него элементов языка формализованного описания.

Процесс этот весьма длительный и по существу бесконечный, ибо расширение языка <содержательной> научной дисциплины приводит к расширению самой математики, ее собственного языка. Так возникает непрерывно действующая обратная связь. Сейчас стало ясно, что <принципиально не математических> дисциплин вообще не существует. Другое дело - этап эволюции научной дисциплины, степень ее математизации (Н.Н.Моисеев,1981)

Зачем изучать математику?

Ответ на этот вопрос получен много веков назад. В середине XIII века английский философ Роджер Бэкон

утверждал: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».

Может быть со временем что-нибудь изменилось? Как отвечают на этот вопрос современники?

Встатье известного математика Владимира Игоревича Арнольда : «Для чего мы изучаем математику?» приведены замечательные примеры продуктивности метода математического моделирования в естествознании, хотя математические модели не всегда дают немедленную практическую отдачу. Сошлемся только на один из них.

ВДревней Греции были открыты канонические сечения и описаны Аполлонием Пергским, а понадобилась эта теория при выводе законов движения планет Иоганну Кеплеру в XVI.

Внаше время свойства конических сечений используют при проектировании запусков искусственных спутников. Трудно объяснить, почему модель сечения конуса описывает движения планет. Почему она оказалась столь эффективной для приложений остается загадкой.

Удивительная универсальность математических моделей поражает и восхищает. Если бы теория канонических сечений не была в свое время разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты и история нашей цивилизации, вероятно, была бы иной. Хотя Апполоний Пергский, изучая конические сечения, думал лишь о красоте математической модели.

Обсуждая проблемы математического образования, В.И.Арнольд указывает на недостатки, обусловленные излишней формализацией и компьтеризацией преподавания математики, так как увлечение компьютерами не способствуют развитию мышления. Он предостерегает об опасности следования принципу изучения только того, что нужно для практики, исходя из сегодняшних потребностей без учета перспективных целей развития общества и приводит убедительные примеры, показывающие, что «нет ничего практичней хорошей теории».

В воспоминаниях об одном из крупнейших физиков ХХ века Якове Борисовиче Зельдовиче В.И.Арнольд пишет, что: « Математика понятий и идей, а вовсе не одних только вычислений была его стихией. … ЯБ любил выделить в физической проблеме точно сформулированный математический вопрос. Он верил, что стоит точно сформулировать задачу математически – и математики, «которые умеют, как мухи, ходить по потолку», найдут решение!».

Для того чтобы успешно использовать математическое моделирование для решения задач почвоведения и экологии очень важно научиться их математически формулировать.

В.В. Докучаев в символьной форме записал выражение, отражающее связь почвы с факторами почвообразования:

П=f(К,О,Г,Р) Т

Он писал: «на первом месте мы имеем дело с великой сложностью условий, влияющих на почву, во вторых эти условия не имеют абсолютных значений, поэтому очень трудно выразить их способом фигур, в

результате, мы имеем мало данных соответствия некоторым факторам и ничего относительно других. Тем не менее, мы надеемся, что все эти трудности будут со временем преодолены и тогда почвоведение будет истинно строгой наукой».

В 1941году Ганс Йенни в широко известной книге Factors of Soil Formation. A System of Quantitative Pedology

писал: :” Докучаев выразил пророческий взгляд на наиболее фундаментальные проблемы теоретического почвоведения, а именно на количественное решение уравнения почва-почвообразующие факторы.

Почвоведение накопило огромную информацию о почвах мира. Проведена большая работа по представлению этой информации в форме различных почвенных карт. Основные усилия по агрегировнию и представлению этой информации были напрвлены на разработку почвенных классификаций. Однако следует напомнить, что классификация не единственный путь систематизировать факты. Данные могут быть организованы в виде законов и теорий.

В книге Йенни почва рассматривается, как физическая система. Физическая в смысле природное тело. Почва открытая система по отношению к веществу и энергии. Каждая система характеризуется свойствами, которые можно обозначить символами. Любая система определена, когда установлены ее свойства. Мы будем предполагать, что процессы, определяющие свойства, могут быть выражены количественно. Сегодня не все почвенные свойства удовлетворительно изучены, чтобы их охарактеризовать с помощью количественных выражений, но мы верим, что по мере развития науки, почвенных свойств, для которых можно получить количественные выражения, будет все больше.

s = f ( cl, o, r, p ,t, • • • )

Цифровое прогнозное почвенное картографирование

Цельпрогноз пространственного распределения

1)почвенных таксономических единиц

2)физических, химических и биологических свойств на основе анализа пространственно распределенных количественных характеристик факторов почвообразования.

Применяемые при этом математические методы включают множественный регрессионный анализ, геостатистические подходы, аппарат нечетких множеств, дискриминантный анализ, нейронные сети и др.

Вкачестве теоретической базы для прогнозного почвенного картографирования, McBratney et al. (2003) предложили модель эмпирического количественного описания взаимосвязей между почвой и пространственно распределенными предикторами SCORPAN:

Sc = f (s,c,o, r, p,a,n), Sa = f (s,c,o, r, p,a,n),

где Sc – почвенные таксономические единицы, Sa – количественная характеристика почвы;

s – почва (другие характеристики почвы); c – климат (локальные климатические характеристики); o – организмы, растительность, фауна, человек; r – рельеф(морфометрические величины); p – материнская порода, литология; a – возраст, время;

n –пространственное положение.

Всовременном почвоведении для решения, как теоретических, так и практических вопросов широко используется множество математических моделей, которые значительно различаются по используемым подходам и степени сложности. Прежде чем переходить к их обсуждению, познакомимся с необходимыми в дальнейшем основными понятиями.

2.Системный анализ и его основные понятия (Система и ее основные свойства, элемент, внутренний состав системы, окружающая среда, структура системы, закон функционирования, модель системы). Математическое моделирование как научная методология. Множественность моделей. Интерпретация моделей. Анатомия математических моделей (переменные состояния,

Модель-это упрощенное представление сложного явления. Модель - система в упрощенном виде. Модель

не отражает всех особенностей реальной системы, а описывает только те, которые существенны для решения поставленной задачи.

Какие характеристики изучаемого объекта должна отражать модель?

Это зависит от целей моделирования и выбранного масштаба. Выбор характеристик определяется целью моделирования.

НАПРИМЕР:

1. Большинство экологических моделей основаны на законе сохранения вещества и энергии. В количественной форме он может быть записан в виде балансового уравнения:

Запас углерода мортмассы = поступление опада – минерализация - гумификация

2.Модель круговорота углерода (минус, плюс, поступление и др.)

Моделирование — это искусство построения модели ее исследования и интерпретации.

Интерпретация - перевод утверждений, полученных относительно модели, на утверждения относительно системы оригинала. Интерпретация не является строго однозначной. Основа - проверка.

АНАТОМИЯ МОДЕЛЕЙ

Переменные состояния - индикаторы состояния системы (запасы, концентрации, численность)

Управляющие функции или внешние переменные. Функции и переменные внешней природы, которые влияют на состояние экосистемы. Модель должна предсказывать изменения экосистемы в ответ на изменения управляющих функции во времени. Управляющие функции, которые мы можем контролировать называются контролирующими функциями.

Математические уравнения- отношения между переменными состояния и внешними переменными.

Параметры моделей - коэффициенты уравнений.

Универсальные константы. Универсальные константы, такие, как газовая постоянная или атомный вес используются во многих моделях.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

На первом этапе выбирается (или строится) модель- «эквивалент объекта», отражающий в математической форме его важнейшие в соответствии с решаемой проблемой свойства. Математическая модель (или ее фрагменты) исследуются аналитически, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап– выбор или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель

представляется в форме удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и быть

экономичными.

Третий этап –создание программы, переводящей модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Программу можно назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, пригодным для непосредственного испытания на «экспериментальной установке» компьютере.

Создав триаду «модель-алгоритм- программа», исследователь получает в руки универсальный и гибкий инструмент, который вначале отлаживается и тестируется (проверяется) в пробных вычислительных экспериментах.

После того, как адекватность удостоверена, с моделью проводятся вычислительные эксперименты. Достоинства:

•многовариантность расчетов;

•многомодельностьвозможность легко менять программу для решения разных задач;

•возможен там, где невозможен натурный эксперимент;

•дешевизна.

3. Особенности почвы как объекта моделирования. Сложность, открытость, динамичность, нелинейность, иерархичность, пространственно-временная гетерогенность. Сложный характер взаимодействия с окружающей средой.

Сложность Экосистемы и почвы относятся к сложным системам.

Для сложных систем характерно наличие большого числа взаимодействующих между собой элементов.

Если система имеет N элементов и каждый элемент связан с каждым, то общее число связей равно N(N- 1).

Если все N элементов имеют по М состояний, то для такой системы общее число состояний К равно МN. Например, система S состоит из 3 элементов (N=3) и каждый элемент может находится в двух состояниях

(М=2), то К= 23=8.

Если поведение системы описывается процессом перехода элемента из одного состояния в другое, то общее число возможных переходов равно К2. Для рассматриваемого примера число сценариев возможного поведения системы 64.

Поведение системы быстро усложняется с ростом число ее элементов. Так, если N=10, (число связей 90) М=2, то К=1024,а число сценариев 1 048 576.

Экосистемы и почвы – многокомпонентные системы, состоящие из множества разнообразных элементов.

Многокомпонентные системы характеризуются многовариантностью поведения. Детальное описание экосистем и почв в принципе требовало бы использования экстремально высокого числа переменных.

Переменные состояния (запасы, концентрации, численность) в моделях, описывающих экосистемы и почвы, неотрицательны. Поэтому моделирование играет чрезвычайно важную роль при изучении почв и экосистем, так как позволяет заменить столь сложные системы их более простыми моделями.

Для сложных систем полное исследование в рамках одной модели невозможно. Поэтому следует ограничить себя определенной задачей, позволяющей получить ответы на ограниченный круг вопросов.

Сложную систему нельзя представить в виде одной универсальной модели. Но разнообразные модели помогают нам понять, как она развивается и функционирует.

Целостность. При взаимодействии с окружающей средой экосистемы и почвы выступает как целое. Целостность этих систем является результатом взаимодействия между их элементами.

Открытость. Экосистемы и почвы являются открытыми системами.

Между экосистемами и окружающей средой, а также между их компонентами действуют прямые и обратные связи.

•Прямые связи предназначены для передачи вещества и энергии.

•Обратные связи реализуют функции управления или адаптации.

Динамичность. Системы, состояние которых изменяется (дискретно или непрерывно) во времени, называются динамическими. Свойства экосистем и почв изменяются в соответствии с суточными, сезонными, многолетними и вековыми ритмами. Динамика экосистем и почв необратима, так как всегда есть наследство истории. Окружающая среда, в которой функционирует почвы и экосистемы, также очень динамична.

Иерархичность. Экосистемы и почвы относится к иерархическим системам. Каждый уровень иерархии имеет свой язык и свою систему понятий. Нельзя объяснить свойства более высокого уровня, исходя только из закономерностей, присущих нижележащим уровням, каждому уровню иерархии соответствуют определенные виды моделей.

Важные следствия концепции структурных уровней организации почв и экосистем:

1.исследование почв и экосистем требует на каждом структурном уровне их организации своих методологических подходов, методов и моделей;

2.познание почв и экосистем на каком-либо одном уровне их структурной организации не дает о них полной информации, так как при этом остаются непознанными процессы на других уровнях.

3.Только сочетание исследований на каждом из структурных уровней организации может дать достаточно полное представление о почвах и экосистемах.

Уровни структурной организации почв:

1.Атомарный;

2.Молекулярно-ионный;

3.Уровень элементарных почвенных частиц;

4.Агрегатный;

5.Горизонтный;

6.Профильный;

7.Уровень почвенного покрова.

Более высокий уровень организации включает в себя объекты или явления более низкого уровня.Все структурные уровни находятся во взаимодействии друг с другом.

Концепция иерархической организации систем тесно связана с проблемой масштаба. Каждый иерархический уровень имеет свой пространственно-временной масштаб. В зависимости от выбора пространственно-временного масштаба система может быть представлена совершенно разными моделями

Формулировка модели определяется выбором пространственно-временного масштаба!

Историчность (инерционность). Состояние системы в конкретный момент времени зависит от ее

предыстории

Нелинейность. Почва и экосистемы относятся к нелинейным системам.

Наличие нелинейных связей приводит к сложным режимам функционирования систем, определяет их способность к самоорганизации, обусловливает устойчивость и гибкую реакцию на внешние воздействия.

*Линейные модели, основанные на представлении о том, что отклик пропорционален воздействию, не позволяют адекватно представить сложный характер и многообразие поведения нелинейных систем.

Нелинейные системы характеризуются множественностью стационарных состояний.

Буферность. Буферный характер реакции системы на внешние воздействия.

В очень широком круге ситуаций обнаруживается, что существует уровень воздействия, который можно назвать пороговым, или критическим. При относительно слабых до пороговых воздействиях система как бы поглощает, адсорбирует воздействия и претерпевает лишь слабые, количественные, зачастую недоступные для наблюдателя изменения. После того как интенсивность внешнего воздействия превышает критический уровень, система не выдерживает внешнего давления и переходит в качественно иное, как правило, нежелательное состояние.

Контринтуитивный характер реакции на внешние воздействия.

Термин контринтуитивность был введен известным американским специалистом в области системного анализа Форрестером (Forrester, 1971; Форрестер, 1974) . и означает противоречащуюздравому смыслу реакцию сложной системы на внешнее воздействие. Например, орошение нередко влечет за собой не увеличение плодородия земель, а их засоление и т.п.

Сложность взаимодействия с окружающей средой

Действие факторов среды неаддитивно (общий эффект действия комплекса факторов не равен сумме эффектов каждого из факторов при независимом действии).

Выделяют следующие основные виды воздействия факторов:

• синергетическое – общий эффект совместного действия факторов больше суммы эффектов каждого из факторов при независимом действии. В результате взаимодействия факторов происходит усиление общего эффекта;