2_1matmod

а) действительные части отрицательны система совершает затухающие колебания стационарная точка -

устойчивый фокус

б) действительные части положительные колебания увеличиваются со временем стационарная точка-

неустойчивый фокус в) действительные части=0, корни - мнимые тип стационарного состояния- центр (нейтрально устойчивое).

Приведем пример качественного исследования модели, представленной двумя дифференциальными уравнениями. Используем для этой цели простейшую линейную модель трансформации органического вещества почв (Смагин,1994).

В рамках рассмотренной линейной модели динамики органического вещества почвы поведение системы жестко детерминировано. Из любого начального состояния она со временем будет стремиться к

единственному стационарному состоянию.

Величина стационарных запасов детрита и гумуса в почве не зависит от их значений в начальный момент времени, а определяется только количеством, ежегодно поступающих в почву растительных остатков (L) и константами скоростей процессов минерализации и гумификации детрита и минерализации гумуса:

Хотя начальные условия не влияют на стационарные значения, они определяют характер кривых,

Если в начальный момент времени запасы детрита и гумуса в почве были ниже стационарных значений, то со временем они будут увеличиваться, напротив, если они их превышали, то уменьшаться, приближаясь к стационарным величинам. Так как стационарная точка асимптотически устойчива и представляет собой устойчивый узел, возмущения системы со временем всегда будут затухать. В такой системе невозможны

колебательные режимы.

Простота рассмотренной выше модели во многом обусловлена ее линейностью. В случае линейных моделей отклик системы на изменение внешних условий пропорционален величине этих изменений.

Типы поведения линейных динамических систем вблизи стационарного состояния:

1.Устойчивый узел -– отклонение от стационарного состояния экспоненциально затухает.

2.Неустойчивый узел –отклонение от стационарного состояния экспоненциально возрастает.

3.Седло -на начальных этапах приближение, а затем удаление от стационарного состояния.

4.Устойчивый фокусотклонения релаксируют, амплитуда колебаний уменьшается и система приближается к стационарному состоянию.

5.Неустойчивый фокусамплитуда колебаний увеличивается.

6.Центр (нейтрально устойчивое состояние – незатухающие колебания около стационарного состояния. Для изменения амплитуды колебаний достаточно малого внешнего воздействия).

18. Нелинейные динамические модели. Особенности поведения нелинейных динамических систем: мультистационарность; катастрофы; автоколебания; динамический хаос. Понятие аттрактор и качественные особенности аттракторов. Аттрактор Лоренца. Самоорганизация нелинейных открытых динамических систем. Почвообразование как синергетический процесс.

Большинство реальных процессов являются нелинейными. Линейные модели, как правило, служат лишь

первым приближением к реальности.

Например, как было показано раньше, модель динамики численности популяции сразу становится нелинейной, если мы хотим учесть ограниченность ресурсов (логистическая модель).

Динамика нелинейных систем значительно сложнее и многообразнее чем линейных. К особенностям нелинейных систем относится мультистационарность: тогда как в линейных системах существует только одно стационарное состояние, которое достигается независимо от начальных условий.

В нелинейных системах возможны переходы из одного стационарного состояния в другое при малых изменениях параметров. Они получили название катастроф.

Катастрофы – это скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение параметров. Линейные системы лишены таких свойств, как возникновение катастроф.

Изучением этих явлений занимается теория катастроф. Она появилась в 70-е годы прошлого века и быстро стала модной, широко рекламируемой теорией, напоминающей универсальностью своих претензий псевдонаучные теории. Математические статьи основоположника теории катастроф французского математика Рене Тома издавались даже массовым тиражом в карманной серии – событие, которого не было в математическом мире со времени возникновения кибернетики.

Теория катастроф обнаружила общие закономерности во многих на первый взгляд совершенно различных явлениях. Среди публикаций есть исследования устойчивости кораблей, моделирования мозговой деятельности и психических расстройств, поведения биржевых игроков, восстания заключенных в тюрьмах и др. Ее применяют в физике, биологии, экономике, социологии, политике и других областях.

В основе математической теории катастроф лежит теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре – Андронова.

Теория Уитни – это обобщение исследования функций на максимум и минимум. В этой теории функции заменены отображениями, т.е. наборами нескольких функций нескольких переменных.

Теория бифуркации анализирует качественное поведение систем при изменении параметров, от которых они зависят.

Теория катастроф является эффективным инструментом исследования качественного поведения различных нелинейных систем.

Нелинейные системы могут находиться в режиме автоколебаний с постоянным периодом и амплитудой. Их возникновение поддерживается благодаря нелинейным взаимодействиям в самой системе, а не вследствие внешнего воздействия.

Важным результатом изучения динамики нелинейных систем явилось обнаружение «детерминированного хаоса», то есть режима с очень изменчивой амплитудой колебаний. Было показано, что в нелинейных моделях при определенных критических значениях их внутренних параметров решение системы ведет себя как случайная функция. Поэтому для обозначения этого явления были предложены термины динамическая

стохастичность и динамический (или детеминированный )хаос.

Важно отличать динамическую стохастичность (детерминированный хаос) от стохастических процессов в классическом смысле, так как здесь хаос возникает как результат внутренней динамики системы, а не является следствием внешних случайных воздействий.

Понятие аттрактор и качественные особенности аттракторов.

Для анализа и наглядного представления поведения нелинейных динамических систем принято использовать

фазовые портреты.

Математическим образом установившихся режимов является притягивающее множество в фазовом пространстве или аттрактор (от английского to attract –притягивать). При этом важным являются качественные особенности аттракторов. Простейший тип аттрактора представляет собой устойчивую особую

точку, к которой стремятся фазовые траектории.

Режиму устойчивых колебаний системы с постоянными периодом и амплитудой в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. Аттрактор в этом случае называется устойчивым предельным циклом.

Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний система спустя некоторое время вновь возвращается к ним.

В системах, начиная с размерности 3, возможно хаотическое поведение. Его математическим образом в фазовом пространстве служит странный аттрактор, представляющий собой множество очень сложной

геометрии, к которому притягиваются проходящие вблизи от него траектории.

Динамические системы по энергетическому признаку делятся на

•консервативные (характеризующиеся неизменным во времени запасом энергии) и

•неконсервативные (с изменяющимся во времени запасом энергии).

Диссипативными называются системы, в которых энергия со временем уменьшается. Для их непрерывного функционирования необходимы источники энергии. Почвы и биогеоценозы относятся к диссипативным

системам.

Динамический хаос и фундаментальные ограничения в области прогноза

До 60-х годов предполагалось, что есть два класса процессов.

Первые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым. Они, как думали раньше, полностью предсказуемы, поэтому, располагая достаточно мощными компьютерами, мы сможем заглянуть как угодно далеко в будущее и как угодно далеко в прошлое.

Ко второму классу относятся процессы, где будущее не зависит от прошлого. Мы бросаем игральную кость и выпадает случайная величина, никак не связанная с тем, что выпадало раньше.

В70-е годы было понято, что существует третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени.

В1963 г. Р. Брэдбери опубликовал фантастический рассказ, в котором фактически сформулировал идею динамического хаоса (эффект бабочки). Малые причины имели большие последствия. Математики

называют это свойство чувствительностью к начальным данным.

Любая динамическая система определяет в фазовом пространстве траекторию, например X(t). Динамический хаос обусловлен тем, что соседние траектории удаляются от нее. Из-за этого малые причины могут иметь большие следствия.

Причиной хаотического поведения широкого класса нелинейных систем является их высокая чувствительность к начальным условиям.

Небольшие отклонения от начальных условий нарастают со временем, что приводит к расхождению первоначально близких траекторий. С этим связана непредсказуемость поведения таких систем на достаточно больших временах.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 г. - американский метеоролог Э. Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных прогнозов погоды?

Лоренц предложил простейшую модель конвекции воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). Эта модель описывается внешне очень простыми уравнениями. В основе модели Лоренца лежат представления о связи потоков воздуха в атмосфере с разностью температур ее различных слоев. Она представляет собой систему из трех нелинейных дифференциальных уравнений:

где σ, b и r — параметры.

Исследование этой модели показало, что даже такая внешне простая система уравнений приводит к хаотическим траекториям.

Аттрактор Лоренца

Такая картина, полученная на компьютере (расчет проводился при r = 28, s = 10, b= 8/3), убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явление - динамический хаос.

Модель Лоренца объясняет почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных прогнозов погоды. Непредсказуемость поведения сложных нелинейных динамических систем на больших временах обусловлена их высокой чувствительностью к начальным данным.

Малые изменения начальных условий ведут к расходимости фазовых траекторий. Таким образом, в

детерминированных системах с динамическим хаосом, где будущее однозначно определяется прошлым, существует конечный горизонт прогноза.

Хаотическое поведение играет важную роль в процессах самоорганизации в природе. По определению Германа Хакена: «Самоорганизация—это процесс упорядочения (пространственного, временного или пространственно-временного) в открытой системе, за счёт согласованного взаимодействия множества элементов её составляющих» (Хакен, 1985).

Он впервые ввел термин «синергетика» (от греческого synergia--- совместное действие) для названия междисциплинарного научного направления, которое изучает процессы самоорганизации сложных систем, состоящих из многих компонентов, связанных между собой нелинейными взаимодействиями. Математической основой синергетики является нелинейная динамика.

Использование идей и методов синергетики имеет большое значение для развития почвоведения, так как почвообразование в широком смысле является синергетическим процессом самоорганизации почвенной системы in situ в течение ее функционирования во времени и пространстве (Targulian, Krasilnikov, 2007). Качественное исследование нелинейных динамических систем позволяет ответить на вопросы:

•сколько и каких аттракторов имеет изучаемая система?

•как может измениться число и тип аттракторов при изменении ее параметров?

На указанные особенности поведения сложных нелинейных систем могут накладываться изменения внешних воздействий, что приводит к очень сложной динамике.

Серия простейших нелинейных моделей круговорота углерода

По современным представлениям, основным механизмом саморазвития биогеоценозов, особенно на первых стадиях формирования, является противоречие в подсистеме почва-растительность, разрешающееся с помощью механизма положительной обратной связи [Арманд, 1988; Борщевский, Михаленко, 1991]. Каждый из компонентов системы стимулирует развитие другого и в результате - свое собственное. В процессе формирования биогеоценоза с ростом продуктивности увеличивается количество поступающих в почву

где X – содержание органического С или N в почве; А – ежегодное поступление органического C или N в почву; к – коэффициент минерализации (доля органического C или N, минерализующаяся за год).

Решение этого дифференциального уравнения характеризует изменения содержания органического углерода

где y – содержание органического вещества в почве; w- количество поступающих в почву растительных остатков; k1-изогумусовый коэффициент; k2-коэффициент минерализации гумуса.

Первая глобальная модель биогеохимических циклов тоже была построена в первой половине прошлого века. Автором этой биосферной модели был В.А Костицын, который в 20-х годах тесно сотрудничал с В.И Вернадским и является его учеником и последователем.

В.А. Костицын один из первых математиков, понявших место и значение математических моделей в изучении биосферных процессов. В 1935 году в Париже он опубликовал книгу «Эволюция атмосферы», в которой представил математические модели, рассматривающие круговорот углерода, кислорода и азота. В России она была опубликована только с полувековым опозданием в 1984 году под названием «Эволюция атмосферы, биосферы и климата» с замечательным послесловием академика Н.Н.Моисеева, в котором обсуждается значение этой работы. Количество моделей начинает быстро расти, начиная с 70-х годов, что связано с работами по Международной биологической программе и программе «Человек и биосфера», а также с увеличением доступности ЭВМ и широким распространением методов имитационного моделирования.

70-е годы прошлого века характеризуются активным развитием биогеохимических моделей в рамках имитационных моделей различных типов экосистем. Ярким примером является широко известная созданная в США модель степной экосистемы ELM (Ecosystem Level Model).

Эта очень детальная модель, в структуру которой входит следующие блоки: абиотический, динамики продуцентов и консументов, динамики саранчи, разложения органического вещества и динамики азота и фосфора. Каждый блок ELM представляет собой самостоятельную имитационную модель.

Значительное влияние на развитие динамических моделей биогеохимических циклов в нашей стране

оказали работы Т.Г. Гильманова (1974, 1975).

Особенно изданная в 1978 году монография: «Математическое моделирование биогеохимических циклов в травяных экосистемах». В этой работе подробно обсуждается постановка задачи математического моделирования биогеохимических циклов в экосистемах на основе системного подхода, а также подробно описывается построение конкретной математической модели взаимосвязанных циклов воды и углерода в травяной экосистеме.

В конце 70-х и начале 80-х годов появились первые версии Ротамстедской модели (Jenkinson and Rayner,

1977) и модели CENTURY (Parton et al., 1983; 1988), описывающих динамику органического вещества почв и позволяющие прогнозировать их реакцию на глобальные изменения климата, хозяйственные воздействия и смену характера землепользования. Они непрерывно развиваются, получили очень широкую известность и в настоящее время активно используются при решении различных экологических задач.

Развитие моделей динамики органического вещества почв в конце ХХ века отражает сеть (SOMNET), , созданная в рамках международной Геосферно-биосферной программы (IGBP) по проекту Global Change and Terrestrial Ecosystems (GCTE). Она содержит информацию о 30 моделях, описывающих превращения органического вещества почв.

В настоящее время известно уже около 250 моделей (Manzoni, Porporato, 2009), значительно различающихся по используемым подходам и уровню сложности.

Биогеохимические процессы экстремально разнообразны. Их скорости различаются в десятки раз, а пространственный диапазон изменяется от молекул до континентов. Особенности моделей во многом определяются пространственно-временным масштабом описываемых процессов. В соответствии с пространственно-временным масштабом Манзони и Порпорато (Manzoni, Porporato, 2009) выделили следующие классы моделей:

М- модели, описывающие мало-масштабные процессы (микробиологические, ризосферные и агрегатные); L- модели разложения опада;

S – модели динамики органического вещества почв;

Е- экосистемные модели, описывающие динамику углерода и азота в системе почварастительность; G – глобальные модели.

Основные подходы к моделированию динамики органического вещества почв

Органическое вещество почв представляет собой сложную динамическую систему, компоненты которой значительно различаются по устойчивости к разложению.

Различия в скорости разложения отдельных компонентов могут достигать нескольких порядков. Они обусловлены биохимическими особенностями различных органических соединений, органоминеральными взаимодействиями и локализацией органического вещества в почве.

Трудности моделирования динамики органического вещества почв в первую очередь связаны с различной устойчивостью его компонентов к разложению. Чтобы решить эту проблему и учесть в моделях кинетическую гетерогенность органического вещества почв используют два основных подхода.

В зависимости от используемого подхода Дженкинсон (Jenkinson, 1990) разделил модели на «некомпартментальные» и «компартментальные», которые в свою очередь подразделяются по количеству компартментов на одно, двух и мультикомпартментальные модели.

Первый подход лежит в основе компартментальных моделей, в которых органическое вещество почв представляют конечным числом компартментов (или, пулов), каждый из которых характеризуется позицией в структуре модели и специфической константой скорости разложения.

Компартменты взаимодействуют между собой и с окружающей средой, обмениваясь веществом и энергией. Обычно предполагается, что скорость разложения каждого пула следует кинетике первого порядка: