2_1matmod
.pdf
15. Учет временной иерархии процессов при построении динамических моделей («быстрые», «средние» и «медленные» переменные.
Качественная теория дифференциальных уравнений является одним из ведущих разделов современной математики. Она позволяет изучать особенности решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений, не прибегая к их интегрированию. Основы этой теории были заложены в конце 80-х годов XIX столетия в работах Анри Пуанкаре (1854-1912) и Александра Михайловича Ляпунова (1857-1918).
Качественное исследование динамических моделей дает хорошие результаты при исследовании моделей, представленных небольшим числом дифференциальных уравнений. Поэтому, прежде чем приступить к качественному исследованию модели необходимо сократить число уравнений в исходной модели, оставив
только те, которые отражают наиболее важные динамические свойства системы.
Проводить редукцию количества уравнений модели нужно очень осторожно, так как есть риск потерять важные характеристики моделируемой системы и не только обеднить модель, но и сделать ее вообще неадекватной.
Помочь получить модель системы, содержащую наименьшее число переменных состояния и параметров, и в то же время правильно отражающую ее основные свойства, представляющие интерес в соответствии с поставленными задачами, может учет временной иерархии изучаемых процессов.
Принимая во внимание характерные времена изучаемых процессов, можно разделить переменные состояния исходной модели на «быстрые», «средние» и «медленные».
В химии метод такого упрощения системы носит название метода квазистационарных концентраций (КСК).
Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью (каталитические, ферментативные , биохимические процессы).
Математически строгое обоснование применения метода квазистационарных концентраций (редукции системы в соответствии с временной иерархией) и формулировка условий его применимости дана в работе А.Н. Тихонова (1952). Эта теорема явно или неявно применяется при исследовании практически любых моделей биологических систем.
Более подробно с удачно подобранными иллюстративными примерами проблема учета временной иерархии процессов при построении моделей биологических систем обсуждается в учебнике Г.Ю.Резниченко «Лекции
по математическим моделям в биологии» (2002).
Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью (каталитические, ферментативные, биохимические процессы).
16. Качественное исследование динамических моделей. Основоположники качественной теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости стационарного состояния. Аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (метод Ляпунова). Качественное исследование логистической модели.
В математическом понимании динамической системой является любой объект, для которого однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени.
Где xi – переменные состояния; fi -известные функции; t -время dxdt1 = f1(t, x1, x2 ,...xn )
dxdt2 = f2 (t, x1, x2 ,...xn )
...................................
dxdtn = fn (t, x1, x2 ,...xn )
Автономные системы, когда правые части не зависят явно от переменной t:
dxdt1 = f1 ( x1, x2 ,...xn ) dxdti = fi ( x1, x2 ,...xn )
...................................
Решение системы представляет собой совокупность функций, характеризующих зависимость переменных состояния от времени:
х1(t), х 2(t),….. х i(t),….. х n(t)
Впроцессе изменения состояния системы во времени переменные хi изменяются согласно второй указанной системе уравнений. В момент времени t каждому состоянию системы соответствует совокупность n значений переменных хi(t).
Фазовое пространство - абстрактное пространство с осями координат х1, х2,... хi,… хn..
Точка X(х1, х2,... хi,… хn) называется изображающей или фазовой точкой. Линия, по которой движется изображающая точка в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией.
На фазовой траектории стрелками отмечается направление движения изображающей точки.
Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных состояния представляет собой фазовый портрет системы. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени. Далее идут ответы вопросов 13,14. Если модели, описывающие различные объекты, основаны на одинаковых предположениях, то для их описания могут быть использованы одни и те же математические выражения.
Динамические математические модели, представляющие собой системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
, называются точечными.
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
f |
|
|
( x |
, x |
|
,...x |
|
) |
|||||
|
|
1 |
2 |
n |
|||||||||||
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
= |
f |
|
|
( x |
, x |
|
,...x |
|
) |
|||||
|
|
i |
2 |
n |
|||||||||||
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
................................... |
|||||||||||||||
dx |
n |
= |
f |
|
|
( x |
, x |
|
,...x |
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
2 |
n |
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При их построении для упрощения модели пренебрегают пространственной неоднородностью изучаемых систем. Они описывают изменения во времени только усредненных по пространству переменных состояния системы. Почвы и экосистемы характеризуются высокой пространственной неоднородностью. Чтобы описать изменения переменных состояния не только во времени, но и в пространстве, используют пространственно-распределенные модели, которые отражают не только процессы трансформации вещества, но и его миграции в системе.
Пространственно-распределенные модели представляют собой системы уравнений в частных производных и описывают скорость изменения концентрации вещества в элементарном объеме системы как за счет его появления и исчезновения в результате процессов трансформации, описанных точечной системой, так и в силу процессов переноса вещества через границы элементарного объема.
Например, когда одновременно с реакциями превращения вещества в элементарном объеме происходит
диффузия, система уравнений имеет вид: |
dx1 |
|
= f |
|
( x , x |
,...x |
|
|
) + D |
|
|
2 x1 |
|||||||
|
dt |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
x1 |
r2 |
|
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
||
|
i |
|
|
= f |
( x , x |
,...x |
|
|
) + D |
|
|
|
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|||||||||||
|
dt |
|
i |
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
xi |
|
|||||
................................... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dxn |
|
= f |
|
|
( x , x |
|
,...x |
|
|
) + D |
|
|
2 xn |
|||||
|
|
|
|
n |
|
n |
xn |
|
|
2 |
|||||||||
|
dt |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Где -
D |
x |
|
i |
коэффициент диффузии вещества , r пространственная координата.
В случае сложных динамических моделей с большим числом переменных состояния, отражающих нелинейные взаимодействия в почвах и экосистемах, возникают серьезные математические трудности в поиске аналитических решений, если их вообще можно получить. В то же время, методы качественной
теории дифференциальных уравнений позволяют определить важные динамические свойства системы, не прибегая к поиску решения системы уравнений.
Качественное исследование системы дифференциальных уравнений эффективно тогда, когда нужно предсказать характер динамического поведения системы и нет необходимости в поиске точного решения уравнений, поскольку начальные условия, значения внешних переменных и параметров системы сильно варьируют и не могут быть точно заданы. Именно с такой ситуацией обычно приходится сталкиваться при решении проблем почвоведения и экологии.
Качественная теория дифференциальных уравнений является одним из ведущих разделов современной математики. Она позволяет изучать особенности решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений, не прибегая к их интегрированию. Основы этой теории были заложены в конце 80-х годов XIX столетия в работах Анри Пуанкаре (1854-1912) и Александра Михайловича Ляпунова (1857-1918).
Качественное исследование динамических моделей дает хорошие результаты при исследовании моделей,
представленных небольшим числом дифференциальных уравнений.
Поэтому, прежде чем приступить к качественному исследованию модели необходимо сократить число
уравнений в исходной модели, оставив только те, которые отражают наиболее важные динамические свойства системы. Проводить редукцию количества уравнений модели нужно очень осторожно, так как есть риск потерять важные характеристики моделируемой системы и не только обеднить модель, но и сделать ее вообще неадекватной. Помочь получить модель системы, содержащую наименьшее число переменных состояния и параметров, и в то же время правильно отражающую ее основные свойства, представляющие интерес в соответствии с поставленными задачами, может учет временной иерархии изучаемых процессов.
Вопрос 15!
Понятие устойчивости
При изучении общих динамических характеристик системы и ее модели ищут ответы на следующие
вопросы:
Имеет ли система стационарные состояния? КАК ИХ НАЙТИ? Сколько их?
Какова их устойчивость? КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ? Как они зависят от параметров системы?
Возможны ли переходы между ними?
Как ведет себя система вблизи стационарных состояний?
Познакомимся с методами качественной теории дифференциальных уравнений на примере простейших моделей.
Рассмотрим модель с одной переменной состояния, динамику которой описывает одно дифференциальное уравнение первого порядка:
dx |
= |
f (x) |
|
dt |
|||
|
|
Наиболее важным свойством стационарного состояния является его устойчивость. В математике существуют разные определения понятия устойчивость. В дальнейшем мы будем использовать одно из основных –
устойчивость по Ляпунову.
Устойчивость определяется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после внешнего возмущения, выводящего систему из стационарного состояния.
Стационарное состояние системы называется устойчивым, если при достаточно малом отклонении от стационарной точки система никогда от нее далеко не уходит. Если при выходе из стационарного состояния система удаляется от него, то оно является неустойчивым
1.Стационарное состояние устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда остается малым.
2.Стационарное состояние называется неустойчивым, если малое отклонение со временем увеличивается.
3.Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малые отклонения от него со временем затухают.
Состояние А является устойчивым, так как после слабого возмущения система будет возвращаться в точку А. Напротив, состояние В неустойчиво, если в результате слабого возмущения система отклоняется от точки В, она в нее не возвращается.
Качественное исследование логистической модели
Логистическая модель была впервые предложена в 1938 г. бельгийским математиком Пьером
Франсуа Ферхюльстом (1804-1849) для описания численности населения в условиях ограниченности
ресурсов, поэтому в его честь получила название модель Ферхюльста. В основе логистической модели лежат следующие предположения:
•существует предельная численность популяции К, которую может обеспечить окружающая среда. Параметр К характеризует «емкость среды»;
•скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной ( в отличие от модели Мальтуса) на величину отклонения от предельного значения.
Нелинейная модель Ферхюльста более реалистично отражает динамику численности популяции в сравнении с линейной моделью Мальтуса.
Как и в предыдущих примерах логистическая модель демонстрирует универсальность математических моделей, так как широко используется не только для описания динамики численности популяций, но и во многих других случаях при описании механизмов насыщения.
17. Качественное исследование динамических моделей, представленных системой двух линейных дифференциальных уравнений. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Типы поведения линейных динамических систем вблизи стационарного состояния. Качественное исследование простейшей линейной модели динамики органического вещества почв.
Модели из двух дифференциальных уравнений дают значительно, большие возможности для изучения динамического поведения систем по сравнению с моделями, представленными одним уравнением.
Качественное исследование моделей из двух дифференциальных уравнений следующего общего вида:
Выражение 1
dx |
= P( x, y) |
|
dt |
||
|
||
dy |
= Q( x, y) |
|
dt |
||
|
где P(x,y); Q(x,y)-непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (Просто двухмерное пространство = где нет высоты. Там любая точка имеет только
координаты Х и Y) и имеющие в этой области непрерывные производные |
порядка не ниже |
первого. |
|
|
, |
2 |
|
|
1 |
|
-действительные числа |
|
|
а) корни |
действительные отрицательные числа - любое отклонение со временем экспоненциально |
|||
затухает.
Стационарное состояние представляет собой устойчивый узел.
б) корни действительные положительные числа - любое отклонение со временем экспоненциально возрастает.
Стационарное состояние представляет собой неустойчивый узел.
в) корни действительные разных знаков. Стационарное состояние представляет собой неустойчивое седло.