2_1matmod
.pdf
• антагонистическое - общий эффект совместного действия факторов меньше суммы эффектов каждого из факторов при независимом действии.
В результате взаимодействия факторов происходит ослабление общего эффекта;
• монодоминантное – общий эффект определяется одним из факторов, действие которого значительно превышает влияние всех остальных
Действие произвольного фактора среды Х на какой-либо из экологических показателей Y, который принимается за оценку качества состояния системы, может быть описано различными математическими функциями, среди которых наиболее популярны следующие зависимости:
4.Возможные цели моделирования.
1)Модели могут задумываться для синтеза знаний о системе в соответствии с изучаемой проблемой и их четкого представления;
2)Модели высвечивают пробелы в наших знаниях и поэтому полезны при построении ряда исследовательских приоритетов и планировании эксперимента;
3)Модели могут строиться с исследовательскими целями. Они позволяют глубже понять систему, обнаружить ее системные свойства, определить важность и роль процессов по отношению к решаемой проблеме;
4)модели полезный инструмент испытания гипотез, так как они позволяют моделировать реакции экосистем и сравнивать их с результатами экспериментов и наблюдений. (Проверяться гипотезы могут только на хорошо проверенных моделях);
5)прогнозирование - качественное и количественное;
6)выбор оптимального управления;
7)оценка рисков.
5. Классификация моделей по Федорову и Гильманову (концептуальные – математические; аналитические-численные; дискретные –непрерывные; статические -динамические; точечныепространственные; детерминированныестохастические).
Известны различные классификации математических моделей. В основу этих классификаций положены разные принципы. Обычно рассматривают пары моделей.
Научные (исследовательские) – прикладные ( в зависимости от целей моделирования).
Концептуальные -математические
Концептуальная модель это концептуальная структура (система взглядов), в рамках которой мы
анализируем факты. Концептуальные модели выражают в словесной (вербальные) и (или) графической форме, например, в виде диаграмм.
Аналитические –алгоритмические. Аналитические (решение в виде формулы) - алгоритмические, когда решение получается в численном виде путем реализации алгоритма решения в виде компьютерной программы.
К классу алгоритмических моделей относятся имитационные (портретные) модели.
При построении имитационной модели, как правило, стараются максимально использовать имеющуюся информацию об изучаемой системе и в соответствии с задачами исследования представить все основные взаимодействия между ее компонентами в сочетании с внешними воздействиями. Это модели высокой степени подробности с большим числом переменных и параметров. Проведение вычислительных экспериментов на основе имитационной модели позволяет проигрывать различные сценарии поведения системы.
Дискретные и непрерывные модели. В дискретных моделях значения переменных состояния определяются только для фиксированных моментов времени, а в непрерывных для всех моментов из рассматриваемого временного интервала.
Детерминированныестохастические (вероятностные)
В детерминированных моделях значения выходных переменных определяются однозначно с точностью до ошибок вычислений.
Стохастические модели позволяют представить результаты в терминах средних, распределения вокруг них и
количественно оценить неопределенность модельных предсказаний.
Очень желательно сдвинуться от высоко-размерных моделей (большое число переменных состояния и высокая флуктуация переменных в пространстве и времени) к подходящей комбинации детерминированных переменных и случайных функций или стохастических процессов и таким образом достичь более расчетливого и сбалансированного представления системы.
Пространственно распределенные модели - модели с
сосредоточенными параметрами (точечные). Пространственно-распределенные модели описывают изменения переменных состояния во времени и пространстве, а точечные динамику усредненных по объему переменных.
Динамические –статические. Динамические описывают изменение состояния системы во времени, а статические представляют усредненную по времени ситуацию или мгновенный срез.
6. Классификация моделей в соответствии с целями моделирования (регрессионные, имитационные и базовые (минимальные)). Достоинства и недостатки каждого из этих классов моделей.
В соответствии с целями моделирования подразделяет математические модели на три больших класса:
регрессионные, имитационные и качественные (базовые).
Первый класс – регрессионные модели, которые представляют результаты статистического анализа данных, полученных путем наблюдений или экспериментов, в виде эмпирических формул. Они не описывают механизмов изучаемых процессов и не раскрывают причинно-следственные связи, что исключает возможность использования регрессионных моделей для условий, отличающихся от тех, при которых получены экспериментальные данные.
Достоинства –простота . Недостаткиневозможность экстраполировать результаты за пределы условий наблюдений в опыте, не объясняют сущность явлений.
Пример эмпирической модели:
Регрессионная модель продуктивности вико-овсяной смеси для Нечерноземной зоны России в зависимости от содержания питательных элементов в почве
Y=21.24+2.71Pподв+0.47Кобм+0.08N+0.08P+0.1K
Y- урожай культуры в ц/га
Рподв - содержание в почве подвижного фосфора мг Р2 О5 /100г Кобм - содержание в почве подвижного калия в мг К2О /100г N-доза азота кг N/га
Р –доза фосфора в кг Р2 О5 /га К – доза калия в кг К2О /га.
Второй класс - имитационные модели конкретных биосистем, максимально учитывающие имеющуюся
информацию об объекте.
Как правило, они построены по модульному принципу. Причем каждый модуль верифицируется до его включения в общую модель. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от биомакромолекул до моделей биогеоценозов.
Они легки для понимания, интерпретации и развития. После предварительной калибровки имитационная модель, построенная для одной системы, может
применяться для других систем подобного типа. Недостатком этого класса моделей является большая информационная емкость и трудности калибровки из-за большого числа параметров.
Третий класс - качественные (базовые) модели.
Они представляют основную «минимальную» структуру изучаемых систем. Поэтому для этого класса моделей Н.Н. Моисеевым и Ю.М. Свирежевым (1979) было предложено название “минимальные модели”.
Базовые модели направлены на описание основных динамических свойств изучаемых систем.
Качественное исследование базовых моделей позволяет понять суть явлений, происходящих в сложных системах. Заметим, что математическая формализация минимальной структуры, очевидно, не единственна, и поэтому для одной системы может быть построено несколько минимальных моделей. Почвы и биогеоценозы являются открытыми для потоков вещества и энергии нелинейными системами. Поэтому базовые (минимальные) модели математической экологии представлены нелинейными моделями. Эти достаточно простые, не отягощенные деталями модели позволяют изучать такие общие свойства почв и экосистем как множественность стационарных состояний, возможность перехода из одного состояния в другое, пространственная неоднородность и квазистохастичность.
Примером минимальной модели в экологии может служить классическая модель экосистемы «хищникжертва», предложенная Вольтерра, который заложил фундаментальные основы теории биологических сообществ, построенной именно как математическая теория. В почвоведении в качестве примеров минимальных моделей можно назвать модель «идеального» подзола» (Морозов, 2007) и нелинейные
модели динамики органического вещества почв (Смагин и др.,2001; Рыжова, 2003).
7.Классификация почвенных моделей с учетом иерархических уровней организации.
Авторы рассматривают следующие семь иерархических уровней.
В качестве основного уровня выбран педон. Каждому уровню иерархии соответствуют свой спектр моделей от качественных до количественных и от эмпирических, которые не рассматривают причинноследственные связи, до теоретических, отражающих механизмы и законы
8. Классификация современных экологических моделей (динамические биогеохимические и биоэнергетические модели; статические биогеохимические и биоэнергетические модели; модели динамики популяций; структурно-динамические модели; Fuzzy модели; индивидуальнооснованные модели; нейронные сети; пространственные; стохастические; экотоксикологические; гибридные).
С.Э.Йоргенсен (Jorgensen, 2008) в широком спектре современных экологических моделей выделил следующие одиннадцать типов.
1. Биогеохимические и биоэнергетические динамические модели
В основе этого типа моделей лежат законы сохранения вещества и энергии. Скорость изменения переменных состояния в этих моделях определяется как разность скоростей процессов прихода и расхода вещества и энергии. Биогеохимические и биоэнергетические динамические модели легки для понимания, интерпретации и дальнейшего развития. К их недостаткам относится необходимость в большом объеме информации для их построения и проверки, а также трудности калибровки из-за большого количества параметров.
2. Статические биогеохимические и биоэнергетические модели
Эти модели не описывают изменений системы во времени. Они используются для представления усредненной по времени ситуации. Могут служить первым шагом в направлении развития динамических моделей.
3. Модели динамики популяций
Тип моделей, описывающих изменение численности популяции во времени. Первые модели динамики популяций – это ряд Фибоначчи (1202), (сумма последующего числа) модель экспоненциального роста Мальтуса (1798). Появившиеся в первой трети двадцатого века классические модели взаимодействия видов В.Вольтерра послужили отправной точкой для множества современных моделей динамики популяций. В настоящее время популяционная динамика является одним из наиболее развитых разделов математической экологии.
4. Структурно-динамические модели
Модели, описывающие адаптацию экосистем к изменению условий среды путем замены одних видов другими, которые больше соответствуют новым условиям.
5. Fuzzy модели (модели основанные на нечеткой логике)
Понятие нечёткой логики было впервые введено Лотфи А. Заде (Zadeh, 1965; 1975). В его работах понятие
множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [01], а не только 0 (полная непринадлежность) или 1(полная принадлежность).
Такие множества были названы нечёткими. Теория |
нечеткой логики – это раздел прикладной |
|||||
математики, |
посвященный |
методам |
анализа |
данных, |
характеризующихся |
высокой |
неопределенностью. Во многих случаях экологическая информация неполная и разнородная. Она включает как количественные, так и качественные данные, а также экспертные оценки с высокой степенью неопределенности. Поэтому нечеткие модели представляют большой интерес для решения экологических проблем. Возможности и примеры использования этого типа моделей в экологии активно обсуждаются в литературе (Salski, 1992; 1996; 2006). Примером эффективного использования этого подхода в почвоведении является модель оценки качества почв по данным о микробной биомассе и энзиматической активности (Tscherko et al.,2007).
6. Искусственные нейронные сети
Для очень широкого круга экологических задач применяются методы, разработанные в теории искусственных нейронных сетей. Они могут использоваться для того, чтобы выявить скрытые
закономерности в массивах гетерогенной информации и являются эффективным инструментом прогнозирования, когда основаны на достаточно больших базах данных, позволяющих установить и проверить на независимом материале отношения между входными и выходными переменными. Примером использования искусственных нейронных сетей в почвоведении может служить выделение в почвенных базах данных минимального набора показателей, влияющих на содержание органического углерода почве (Барцев и др.,2009). А также прогнозирование миграции загрязняющих веществ в почве на основе анализа данных, характеризующих физико-химические свойства почв и условия окружающей среды (климатические, биологические и геоморфологические) (Коваленко, Кундас, 2009).
7. Индивидуально-ориентированные модели
Индивидуально-ориентированное моделирование или индивидуум-ориентированное от англ. individualbased modeling использует подход, в рамках которого основным объектом модели является индивид, представляющий собой уникальную, дискретную единицу, у которой есть некоторый набор характеристик, изменяющихся в течение жизненного цикла. Каждый из индивидов взаимодействует с другими индивидами. Модели этого типа строят «снизу вверх», начиная с элементов системы (индивидов).
Модельер определяет поведение только индивидов, а общее поведение системы является результатом совокупной деятельности многих индивидов, каждый из которых следует своим собственным правилам взаимодействия со средой и другими индивидами. Целью моделирования в этом случае является понимание того, каким образом интегральные свойства системы возникают из множества локальных взаимодействий между ее элементами (индивидуумами).
8. Пространственные модели
Этот тип моделей представляет особый интерес для экологов и почвоведов, так как экосистемы и почвы являются пространственно-распределенными системами. Результаты моделирования могут быть представлены в GIS. Недостатки пространственных моделей связаны с очень высокой информационной емкостью и трудностями их калибровки и проверки.
9. Стохастические модели.
Стохастические модели учитывают вероятностный характер изучаемых явлений и имеют дело со
случайными переменными и функциями.
10.Экотоксикологические модели.
Эти модели рассматривают поведение и распределение токсических компонентов в экосистемах и ландшафтах.
11. Гибридные модели
Гибридные модели можно развивать, комбинируя разные типы из вышеперечисленного списка моделей.
9. Основные методологические принципы моделирования (принцип итеративности и принцип соответствия точности и сложности). Характеристика моделей (реалистичность, точность, общность, наглядность, модульность; способность к качественному и количественному развитию).
Основные методологические принципы моделирования
1.Принцип итеративности состоит в последовательном совершенствовании модели.
Строят серию моделей. Первая модель включает небольшое количество процессов, которые выбраны, как основные. Если полученные с ее помощью результаты удовлетворяют результатам эксперимента - построение серии заканчивается. Если при добавлении новых процессов качество описания улучшается , то рассматривают эту версию и.т.д.
Построение заканчивается, если а) получена удовлетворительная модель;
б) список процессов и факторов исчерпан, а удовлетворительное описание не получено; в) не хватает экспериментальных данных для нахождения параметров и проверки модели.
В результате построения серии получается математическая модель, в которой вклад отдельных процессов изучен на этапе построения серии.
2.Принцип соответствия точности и сложности.
Заданной точности опытных данных должна соответствовать модель минимальной сложности.
Принцип «бритвы Оккама», известный в науке так же, как принцип простоты был сформулирован в XIV в. английским философом У. Оккамом в следующем виде: frustra fit plura, quod fieri potest pauciora – не следует делать посредством бóльшего то, что можно достичь посредством мéньшего.
Излишнее усложнение затрудняет работу с моделью, а при излишнем упрощении результаты будут тривиальные.
Характеристики моделей:
•Реалистичность модели -степень, с которой утверждения, полученные на основе модели, соответствуют нашим представлениям об изучаемой системе.
•Точность модели – это количественная оценка степени совпадения модельных результатов с натурными.
•Общность модели –область применимости модели, число различных ситуаций, которые модель отражает.
•Наглядность;
•Модульность;
•Способность к качественному и количественному развитию
10. Этапы построения математических моделей сложных динамических систем. Постановка задачи; выбор объекта исследования и определение его временных и пространственных границ; сбор необходимых данных и оценка их качества; выбор типа модели; концептуализация модели; формализация модели; выбор метода решения; реализация модели; верификация модели; анализ чувствительности; калибровка; проверка; заключительный.
1 шаг – постановка задачи.
На этом этапе определяются цели моделирования (свертка информации и ее четкое представление; установление исследовательских приоритетов и планирование экспериментов; проверка гипотез; качественное и количественное прогнозирование; выбор оптимального управления и др.). Формулируются вопросы, ответы на которые планируют получить с помощью модели). Широко известно высказывание Эйнштейна, что правильная формулировка целей и постановка задачи даже
более важны, чем её решение (Розенберг, 2013). Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.
2 шаг - выбор объекта исследования и определение его временных и пространственных границ. 3 шаг - сбор необходимых данных и оценка их качества
Особенности почвенных и экологических данных
•Большой объем данных
•Гетерогенность. Гетерогенность обусловлена:
•различными источниками данных (Объективные источники –результаты экспериментов и наблюдений, Субъективные источники –экспертные оценки, оценки вместо измерений);
•различной структурой и форматом данных (временные ряды, пространственные
характеристики);
•Различным типом данных (качественные и количественные).
•Неопределенность. Неопределенность данных вызвана:
•Наличием случайных переменных;
•Неполнотой или неточностью данных за счет ошибок измерений;
•Приблизительными оценками вместо измерений из-за технических или финансовых проблем;
•Несопоставимостью данных в результате изменения методик измерения или условий наблюдения;
•Субъективностью, неполнотой и нечеткостью экспертных оценок
4 шаг- выбор типа модели
На этом этапе выбирается тип модели, который позволяет решить поставленную задачу. С этой целью рассматриваются и сравниваются опубликованные ранее модели, направленные на решение подобных задач и оценивается качество собранной информации об изучаемой системе. Если данных достаточно для экспериментального обеспечения модели, то переходят к следующему этапу. В противном случае нужно проводить дополнительные исследования для получения недостающих данных, или выбирать такой тип модели, который может быть реализован на основании имеющихся данных. В последнем случае приходится возвращаться на первый этап и корректировать постановку задачи.
5 шаг - концептуализация модели
Концептуальной моделью называется содержательная модель, отражающая наши представления об изучаемой системе.
Модель всегда упрощение реальности, поэтому на этапе концептуализации выбирают внешние переменные, компоненты и процессы, которые кажутся наиболее важными в свете рассматриваемой проблемы. На основе этого выбора определяют состав и структуру системы. Для сложных систем модель может иметь модульную структуру. В этом случае на этапе концептуализации формулируют гипотезы о взаимодействии модулей.
Концептуализация модели – ключевой шаг системного исследования, так как концептуальная модель служит основой для математической модели.
Как правило, концептуальные модели представляют в виде схем или потоковых диаграмм. Для построения потоковых диаграмм используют язык Форрестера - формализм представления системы в виде потоковой диаграммы, разработанный при построении модели глобальной мировой динамики по заказу Римского клуба в 60 годы.
6 шаг- формализация модели.
Формализация модели - описание системы в форме совокупности математических соотношений, описывающих ее поведение и свойства.
На этом этапе формулируют законы о поведении системы и выражают их в виде математических соотношений.
Выявление ошибок на этапе формализации модели и полезные правила
1.Контроль размерностей.
а) переменные с одной размерностью обозначают одинаковыми символами, но с разными индексами; б) составляют таблицы обозначений переменных с указанием их размерностей; в) используют одну и ту же систему единиц для значений всех параметров.
2.Контроль порядков, состоящий в грубой оценке сравниваемых порядков складываемых величин и исключении малозначимых параметров.
Например, если для выражения X+Y+Z=0 в результате оценки установлено, что в рассматриваемой области значений параметров модели, то третьим слагаемым в исходном выражении можно пренебречь.
3.Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл.
4.Контроль граничных условий – проверка того, что граничные условия действительно наложены и использованы в процессе получения решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.
5.Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность решить поставленную задачу. Должны быть определены все соотношения, необходимые для получения решения. (количество уравнений равно количеству переменных состояния; заданы все внешние переменные и функции; определены все параметры; заданы начальные и граничные условия).
Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, экстремальных ситуаций, граничных условий и математической замкнутости.
7 шаг –выбор метода решения.