1. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BScos или Ф = BnS,

где S – площадь контура:

 - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции:

2. в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

,

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток):

 = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению замкнутого контура, по которому течет постоянный по величине ток, в магнитном поле:

A = IФ.

Э.Д.С. индукции

ε_i= - dψ/dt.

Разность потенциалов на концах прямого проводника длины l, движущегося с постоянной скоростью V в магнитном поле с индукцией В:

U = Вlv sin ,

где  - угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контору при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:

Q = Ф/R, или Q = NФ/R = Δψ/R,

где R – сопротивление контура.

Индуктивность контура:

L = ψ/I, I - сила тока.

Э.Д.С. самоиндукции

Индуктивность соленоида: L = ₀n²V

где n – отношение числа витков соленоида к его длине; V – объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) I = /R(1 – e^-Rt/L) (при замыкании цепи),

где  – э.д.с. источника тока;

t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) I = I₀ e^-Rt/L (при размыкании цепи),

где I₀ – сила тока в цепи при t = 0;

t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля содержащаяся в контуре с индуктивностью L при протекании тока I :

W = LI²/2.

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему):

w = BH/2, или w = B²/(2₀), или w = ₀H²/2,

где В – магнитная индукция;

Н – напряженность магнитного поля.

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля

Используем первое и второе уравнения Максвелла в виде

rot Используя известное математическое тождество: , составим из них следующее выражение:

.

Проинтегрируем это выражение по некоторому объему V

Введем вектор и применим теорему Гаусса к первому интегралу

Первый интеграл по замкнутой поверхности S охватывающей объем V представляет собой поток вектора Пойнтинга через эту поверхность, второй - выделение теплоты в указанном объеме, третий – электромагнитную энергию, заключенную в том же объеме.

Вывод волнового уравнения для поглощающей среды

Исходим из второго уравнения Максвелла (можно и из первого)

З десь учтено материальное уравнение вида

и закон Ома в дифференциальной форме

П ервое уравнение берем в виде

и применяем ко второму операцию ротора:

П о известному математическому тождеству

с учетом того, что div E = 0, имеем

Э то уравнение колебаний, наличие означает затухание.

Волновое уравнение в различных системах координат

Лапласиан =  ψ

В декартовых координатах:

В цилиндрических координатах:

В сферических координатах:

Волновое уравнение

При этих условиях проводимостью среды можно пренебречь.

 - время релаксации среды, T – период волны

Решение уравнения (5) ищем в виде:

Б ерем производные от уравнения (6):

Подставляем в уравнение (5):

Введем обозначение для комплексного волнового вектора

и . - скорость волн в вакууме.

Т огда для комплексного показателя преломления N

Тогда

Раскрыв скобки, получаем

= = = =