2. Принятие решений в условиях стохастической информации

Пессимист видит трудность в каждой возможности,

оптимист в каждой трудности видит возможность.

Уинстон Черчилль

2.1. Оценка риска

Если факторы, определяющие риск, являются случайными, то величина риска определяется или случайным событием, или случайной величиной, или функцией от случайных аргументов и полностью характеризуется в общем случае своим законом распределения: рядом распределения для дискретной случайной величины и плотностью распределения для непрерывной случайной величины. На практике риск, как случайная величина, оценивается числовыми характеристиками случайных событий или случайных величин. При этом в зависимости от вида риска и имеющихся исходных данных величина риска оценивается различным образом. Если риск определяется случайным событием, то его характеризуют соответствующей вероятностью.

Например, в страховании величину риска R определяют как вероятность p_н появления нежелаемых событий (последствий):

. (2.1)

При этом , где – частота появления нежелаемых событий, вычисляемая по статистическим данным.

Например, в табл. 2.1 приведены данные о частоте летальных исходов у людей в зависимости от различных причин [10].

Таблица 2.1

Причины гибели	Данные на 10 млн. чел. в год
Аварии автомашин	2700
Пожары и взрывы	400
Водоемы	280
Обращение с механизмами	100
Автотранспорт	75
Электричество	51
Молнии	5,5
Общественный транспорт	0,45
Радиоактивное излучение	0,05

Если из 10 млн. человек в год погибнет в авиакатастрофах 75 человек, то вероятность того, что клиент страховой компании в течение года погибает от авиакатастрофы

.

Табл. 2.1 можно использовать для обоснования оправданного риска, используя метод аналогий. Например, допустимый основной риск

,

соответствующий гибели в год 100 человек из 10 млн. (10^–5 чел/год), может быть рекомендован как допустимый при проектировании и эксплуатации технических средств. Эту величину не следует принимать как оправданный предел; она должна служить лишь основой относительной шкалы принимаемых решений.

Для летального риска принимают значения оправданного и неоправданного риска на человека в год; эти значения выглядят, в соответствии с табл. 2.1, разумными.

Если речь идет исключительно о риске материальных потерь, метод аналогий при оценке риска не вызывает сомнений. В этом случае можно принимать решения, оценивая лишь экономический эффект.

Если величина риска R определена, то решение о данном проекте принимается, если она не превышает допустимый уровень риска R_доп .

Для определения R_доп может использоваться как метод аналогий, так и экспертный метод. Очевидно, что оценка R_доп экспертами является субъективной, зависящей от многих факторов, в том числе психологических. Например, предприниматель создает предприятие не только из-за желания добиться финансового благосостояния, но из-за желания быть независимым. Такие люди чувствуют дискомфорт при работе на “хозяина”, поэтому они принимают большой уровень допустимого риска. Очень богатые люди, напротив, не очень хотят рисковать своими деньгами. Их отношение к риску можно характеризовать такой фразой: “Я так долго добивался, чтобы заработать эти деньги, поэтому не собираюсь терять их в рискованных проектах”. Богатые становятся очень бережливыми и согласны на небольшую прибыль от безрисковых вкладов, которые не превышают 12% годовых. Но и излишняя осторожность не спасает от риска, избавиться от которого полностью невозможно.

Простая методика определения риска имеется и при использовании данных краткосрочного прогноза. Если вероятность прогноза равна p, то в качестве риска берут величину

. (2.2)

В общем случае риск определяется рядом последствий и вероятностями этих последствий, т.е. связан со случайной величиной, имеющей свой ряд распределения:

,

где x_i – значение дохода, а p_i – соответствующая этому значению вероятность, или (для непрерывной случайной величи­ны) плотность распределения f(x), причем

, а .

В соответствии с гипотезой ожидаемой полезности, человек выбирает решение, при котором величина ожидаемой полезности максимальна. Поэтому степень риска принимаемых решений связана с математическим ожиданием случайной величины Х:

(2.3)

для дискретной случайной величины и

(2.4)

для непрерывной случайной величины.

Пример. Фирма начинает выпускать автомобили. новой марки. В силу недостаточно изученного рынка сбыта во время маркетинговых исследований возможны три варианта спроса на продукцию. Прибыль при этом имеет следующий ряд распределения:

.

Знак «–» означает, что фирма при таком исходе терпит убытки. Найти величину ожидаемой прибыли.

Решение. В соответствии с (2.3) имеем:

= 7  0,2 + 2  0,6 – 5  0,2 = 1,6 млрд. грн.

В тех случаях, когда прибыль является функцией от другой случайной величины Х с известным законом распределения

(2.5)

для дискретной случайной величины Х;

(2.6)

для непрерывной случайной величины Х, где p_xi – вероятность того, что случайная величина Х примет значение х_i; f(x) – плотность распределения случайной величины Х.

Пример. Фирма по строительству коттеджей получает прибыль С, зависящую от количества полученных заказов Х следующим образом:

,

где k – постоянный коэффициент, имеющий размерность дохода.

Случайная величина Х имеет следующий ряд распределения:

.

Найти величину ожидаемого дохода.

Решение. В соответствии с (2.5) получаем:

Если (X, Y) – система дискретных случайных величин (например, Х – величина спроса на выпускаемую продукцию; Y – цена на закупаемый для производства материал), распределение которой характеризуется матрицей распределения:

где – вероятность того, что случайная величина Х примет значение х_i и одновременно с этим случайная величина Y примет значение y_j.

В этом случае доход С есть функция случайных аргументов x и y:

,

а

. (2.7)

Если (x, y) – система непрерывных случайных величин с плотностью распределения f(x,y), то

. (2.8)

Пример. Акционер имеет акции двух взаимосвязанных по производственной деятельности компаний. На рынке могут возникнуть ситуации, при которых курсы акций Х и Y этих компаний характеризуются следующей матрицей распределения:

Найти величину математического ожидания дохода, если количество акций первого вида равно 100; другого – 50, а стоимость всех акций при покупке составляла 1000 грн.

Решение. В данном случае доход С = 100х + 50y – 1000 грн.. В соответствии с выражением (2.7) имеем:

= 5000,2 + 10000,1 +

+15000,1 + 10000,1 + 15000,2 + 20000,3 = 1500.

Математическое ожидание – лишь одна характеристика случайной величины, которая определяет величину риска. Эта характеристика позволяет грубо оценить и другую характеристику риска, – вероятность нежелательного события. Для этого нужно использовать неравенство Маркова.

Неравенство Маркова: если среди значений случайной величины X нет отрицательных, то вероятность P того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число a, не больше дроби m_x /а, т. е.

.

Пример. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно m_x = 20000 кВт/ч. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в этом населённом пункте в течение данных суток превзойдет критическое значение, равное а = 60000 кВт/ч.

Решение. Используя неравенство Маркова, получаем оценку критического риска .

Второй характеристикой случайной величины является дисперсия (часто именно эту характеристику и берут в качестве величины риска):

(2.9)

для дискретной случайной величины Х и

(2.10)

для непрерывной случайной величины Х, где m_x – математическое ожидание этой случайной величины.

Поскольку дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины относительно её среднего значения, то считается, что чем меньше будет рассеяние ожидаемого дохода, тем лучше это будет для предпринимателя. Основными недостатками выбора дисперсии в качестве меры риска являются:

1. Дисперсия учитывает отклонения в обе стороны относительно математического ожидания. Инвестор же не оценивает превышение доходности над ожидаемой как нежелательный результат. Наоборот, такой результат может только приветствоваться.

2. Вероятность нежелательного события (например, банкротство; доход меньше допустимого и др.) зависит не только от дисперсии, но и от математического ожидания. Таким образом, риск является многомерной характеристикой.

Тем не менее, использование дисперсии в качестве меры риска показало свою эффективность в большинстве практических случаев.

Пример. Имеется два варианта производства и реализации товаров. По данным отдела маркетинга, который провел исследования рынка, ожидаемые доходы зависят от вероятности экономической ситуации (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Варианты производства и реализации товаров	Доход; экономическая ситуация
	р1  0,8	р2  0,2
Первый	2 млн. грн.	8 млн. грн.
Второй	4 млн. грн.	0

Необходимо оценить степень риска и принять решение относительно выпуска одного из двух видов товаров.

Решение.

m₁ = 2×0,8 + 8×0,2 = 3,2 млн. грн.

m₂ = 4×0,8 + 0×0.2 = 3,2 млн. грн.

Так как m₁ = m₂, то для более детальной оценки степени риска принимаемого решения учтем дисперсии ожидаемого дохода:

.

Так как , то менее рискованным является второй проект.

В тех случаях, когда известен закон распределения случайной величины Х, характеризующей доходность, можно получить точную оценку риска, как вероятность нежелательного события.

В соответствии с определением функции распределения F(x) вероятность Р того, что случайная величина Х будет меньше любого заданного значения а равна значению функции распределения в точке а:

. (2.11)

Вероятность появления случайной величины в интервале [a; b] равна приращению функции распределения на этом интервале:

. (2.12)

Пример. Ожидаемый доход Х от инвестиций является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0;1] млн. грн.. Если доход будет меньше 100 тыс. грн., инвестор обанкротится. Оценить риск банкротства.

Решение. В данном случае риск R банкротства равен вероятности того, что доход Х будет меньше 100 тыс. грн. В соответствии с (2.11) имеем:

.

Для случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0; 1000] тыс. грн., функция распределения имеет вид

График функции распределения F(x) показан на рис. 2.1.

Рис. 2.1. График функции распределения F(x) равномерно распределённой случайной величины

Риск банкротства R = F(100 тыс. грн.) = 0,1.

Если известна плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х, то из определения f(x) следует, что вероятность Р того, что случайная величина Х будет меньше любого заданного значения а, равна интегралу в пределах от – ¥ до а от плотности распределения:

. (2.13)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала [a; b],

. (2.14)

На практике широкое распространение получил гауссов закон распределения случайной величины Х:

. (2.15)

Объяснение этому даётся центральной предельной теоремой Ляпунова: если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к гауссовому.

Для гауссова закона распределения, вероятность того, что случайная величина Х лежит в интервале [а; b] определяется соотношением

, (2.16)

где – табулированная функция Лапласа.

Пример. Доход компании, состоящей из 100 различных независимых предприятий, приносящих примерно одинаковые доходы, является случайной величиной Х со следующими характеристиками: m_x = 300 млн. грн., _x = 100 млн. грн. Банкротство компании произойдет, если полученный доход будет меньше 200 млн. грн. Оценить риск банкротства.

Решение. В данном случае величина риска будет определяться вероятностью того, что доход компании будет меньше 200 млн. грн.

Так как доход компании складывается из большого числа (100) доходов независимых предприятий, то его можно считать распределенным по закону Гаусса.

Найдем вероятность того, что доход компании лежит в пределах от 200 млн. грн. до ¥.

.

Используя таблицы функций Лапласа и учитывая, что Ф(– а) = – Ф(а); Ф(¥) = 0,5, находим

.

Тогда вероятность банкротства

.

Для гауссового закона вероятность

.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения дохода от его математического ожидания превысит утроенное среднеквадратичное отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев это может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными (правило трех сигм).

В некоторых случаях решение принимается по степени риска, оцениваемом по коэффициенту вариации

, (2.17)

где – среднеквадратичное отклонение случайного ожидаемого дохода Х. При этом тот вариант действий считается предпочтительным, для которого коэффициент вариации меньше.

Коэффициент вариации является безразмерной величиной, поэтому пригоден для сравнения вариантов, характеризующихся различной размерностью.

Вместе с тем коэффициент вариации, как и любой другой мультипликативный показатель, имеет существенный недостаток: его можно обоснованно использовать лишь в тех случаях, когда отличаются друг от друга незначительно. Действительно, если, например, для одного варианта , , а для другого варианта и , то получаем, что

,

т.е. два варианта по коэффициенту вариации оказываются равнозначными. В то же время, ожидаемый доход в первом случае в 10000 раз больше ожидаемого дохода во втором случае.

Рассмотрим другие исходные данные:

, , а , .

Тогда

.

В этом случае, с позиции минимизации риска следует отдать предпочтение второму проекту.

Относительный риск определяется, как величина возможных убытков (потерь), отнесенной, например, к имуществу предпринимателя или к общим затратам ресурсов на данный вид предпринимательской деятельности. Коэффициент вариации, по существу, также является относительным риском.

Банками и финансовыми компаниями используется для оценки риска коэффициент Кука:

.

Вместе с тем надо понимать, что предприниматель вряд ли бы стал что бы то ни было предпринимать, если бы речь шла о максимально достижимой абсолютной прибыли в один доллар даже при доходности 100%.

Соотношение полезностей различных решений будет зависеть не столько от доходности инвестиций в процентом выражении, сколько от абсолютной величины стоимостных показателей. Если речь идет о выборе между двумя проектами инвестиций со ставками доходности 20% и 10% соответственно, в случае, когда реально выбираются проекты между абсолютными доходами 2 доллара и 1 доллар – оба проекта практически эквивалентны. Если же доход в абсолютном исчислении может составить 2 млн. долларов или 1 млн. долларов – различие становится существенным.