5.5. Аддитивный обобщенный критерий

Наиболее распространенным обобщенным критерием является “взвешенная” сумма частных критериев

, (5.7)

где k_i > 0,  коэффициенты приоритетности критериев (весовые коэффициенты), которые удовлетворяют условию .

Если размерность частных критериев различна, то ,

где f_jн(x) – нормированные частные критерии.

Очевидно, что чем больше k_j, тем больший вклад j-го критерия в обобщенный показатель независимо от того, подлежит ли частный критерий максимизации или минимизации.

Легко показать, что решение x  X, оптимальное по обобщенному аддитивному критерию, является и Парето-оптимальным в множестве возможных решений Х.

Пример. Найти оптимальное решение, используя обобщенный аддитивный критерий, для следующей многокритериальной задачи:

Первый критерий предпочтительнее второго, а второй – третьего. Все критерии подлежат максимизации. Размерности оценок решений по всем критериям одинаковы.

Решение. Коэффициенты приоритетности найдем, используя формулу Фишберна:

.

Поскольку размерности оценок по всем критериям одинаковы, нормализацию в данной задаче не проводим.

Используя обобщенный аддитивный критерий , получаем

Так как , то х_opt  х_1.

Если бы приоритетность критериев была одинаковой (k₁  k₂  k₃  1/3), то оптимальным решением было бы х_4.

Но ни при каких коэффициентах приоритетности решение х₅ не станет оптимальным, поскольку оно не является Парето-оптимальным: x₁ > x₅. Поэтому решение х₅ можно было бы сразу исключить из дальнейшего рассмотрения.

Главным недостатком обобщенного аддитивного критерия является то, что при его применении может происходить взаимная компенсация частных критериев: уменьшение одного из показателей может быть компенсировано возрастанием другого.

5.6. Неоднозначность оптимальных решений по аддитивному и мультипликативному обобщенным критериям

Пусть каждое решение оценивается двумя критериями: результатом (этот критерий нужно максимизировать) и затратами (этот критерий необходимо минимизировать). Предположим, что оба критерия имеют одну и ту же единицу размерности, поэтому нормализацию проводить не требуется.

Тогда обобщенный аддитивный критерий имеет вид

, (5.8)

где – коэффициенты приоритетности результата решения и затрат на его исполнение соответственно.

Обобщенный мультипликативный критерий

. (5.9)

Оказывается, решения, принимаемые по этим обобщенным критериям, совпадают не всегда [23].

Определим ситуации, когда решения по этим критериям совпадают и когда не совпадают.

Пусть . Тогда очевидно, что решение x₁ предпочтительнее решения x₂ по обоим обобщенным критериям, если , и, наоборот, x₁ хуже решения x₂ по обоим критериям, если .

Пусть . Тогда, если , решение x₁ предпочтительнее x₂, а если , предпочтительным является решение x₂. Также тривиальным является случай, когда одно решение лучше другого, как по результату, так и по затратам. Например, если и , то по обоим обобщенным критериям лучшим является решение x₁.

Рассмотрим нетривиальный случай

; (5.10)

. (5.11)

Введем положительные числа  > 0 и  > 0 такие, что

; (5.12)

. (5.13)

Тогда значение обобщенного аддитивного критерия для решения x₁ равно

, (5.14)

а для решения x₂ с учетом выражений (5.12), (5.13) имеем

Очевидно, что решение x₁ будет предпочтительнее решения x₂ в случае

. (5.15)

Итак, получаем, что если использовать обобщенный аддитивный критерий, то для условий (5.10), (5.11) оптимальное решение удовлетворяет условиям:

. (5.16)

В выражении (5.16) знак «  » означает, что первое решение лучше второго; знак «  » – что первое решение хуже второго; знак «  » – оба решения равноценны.

Как видим, условия (5.16) зависят как от соотношения , так и от соотношения коэффициентов приоритетности .

Рассмотрим задачу принятия решения при использовании обобщенного мультипликативного критерия:

; (5.17)

(5.18)

Решение x₁ будет предпочтительнее решения x₂ , если

, или . (5.19)

Раскрывая неравенство (5.19) и учитывая, что ; , получаем, что при использовании обобщенного мультипликативного критерия оптимальные решения удовлетворяют следующим условиям:

. (5.20)

Условия (5.20) определяются только соотношением и не зависят от соотношения коэффициентов приоритетности.

Условия (5.16) и (5.20) одновременно представим в прямоугольной системе координат (рис.5.4).

Рис. 5.4. Области, определяющие однозначность и неоднозначность принятия решения при использовании аддитивного и мультипликативного критериев

Как видно из рис.5.4, области II и IV соответствуют различным оптимальным решениям, если использовать различные обобщенные критерии, а области I и III обеспечивают одно и то же оптимальное решение.

Область II соответствует условиям

; (5.21)

. (5.22)

Пример. Пусть ; ;   2;   3; f₁(x₁)  4 ден. ед.; f₂(x₁)  3,5 ден. ед. Требуется найти оптимальное решение по обобщенному аддитивному и мультипликативному критериям.

Решение. Так как f₁(x₂)  f₁(x₁)    4  2  2; f₂(x₂)  f₂(x₁)    3,5  3  0,5, то

;

.

Так как , то решение x₁ является оптимальным, если использовать обобщенный аддитивный критерий.

Найдем решение по мультипликативному критерию.

;

.

Так как , то решение x₂ лучше решения x₁.

Таким образом, получили по разным обобщенным критериям разные решения, поскольку начальные условия данной задачи соответствуют области II. Действительно, ; , а следовательно, условия (5.21) и (5.22) выполняются.

Область противоположных решений IV соответствует условиям

; (5.23)

. (5.24)

Покажем, что условия (5.23) и (5.24) не всегда могут удовлетворять реальным решениям, у которых , то есть результат выше затрат. Действительно, если k₁ > k₂, то , то есть   . Но в этом случае, чтобы выполнить условие (5.24), необходимо, чтобы f₂(x₁) было больше f₁(x₁) (затраты должны быть выше результата).

Если же k₁ < k₂, то может быть меньше единицы (если ), а в этом случае условие (5.24) может быть выполнено и при .

Пример. Пусть ; ;   1;   0,5; f₁(x₁)  5; f₂(x₁)  3. Эти начальные условия удовлетворяют области IV.

Действительно, ; .

Найдем для данных условий решения, оптимальные по обобщенному аддитивному и мультипликативному критериям.

f₁(x₂)  f₁(x₁)    5  1  4; f₂(x₂)  f₂(x₁)    3  0,5  2,5;

;

.

Так как , то решение x₂ является оптимальным по аддитивному критерию.

;

.

Так как , то по мультипликативному критерию предпочтительным является решение x₁.

При выполнении условий

; ; (5.25)

; (5.26)

оптимальные решения по обобщенным аддитивному и мультипликативному критериям совпадают.