2.6. Оптимизация риска

Лучший из всех портфелей на эффективной границе называется оптимальным портфелем. Но выбор оптимального портфеля зависит от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходностью. Эти предпочтения описываются при помощи функции полезности (критерия полезности).

Кривая безразличия определяет комбинации риска и ожидаемой доходности, дающей одинаковый уровень полезности (одно и то же значение критерия полезности).

На рис. 2.7 изображены множество оценок допустимых портфелей и кривые безразличия. Чем выше находится кривая безразличия, тем большей полезности L_i для инвестора она соответствует.

Оптимальный портфель соответствует точке касания N эффективной границы оценок портфеля и некоторой кривой безразличия (L₂). Эта кривая соответствует максимальному значению полезности среди кривых, пересекающих допустимое множество оценок портфелей.

Рис. 2.7. Определение оптимального портфеля с помощью кривых безразличия

При линейной функции полезности

L  m_p  k_p, (2.45)

где k – коэффициент, характеризующий отношение инвестора к риску. Чем больше k, тем круче кривые безразличия, тем меньше инвестор склонен к риску (рис. 2.8).

По существу, нахождение оптимального портфеля является двухкритериальной задачей.

Для нахождения портфеля из двух активов, имеющего минимальный риск, необходимо решить уравнение

. (2.46)

Так как , то

.

Рис. 2.8. Нахождение оптимального портфеля при линейной кривой безразличия

Приравнивая значение этой производной нулю, получаем оптимальное значение х_1opt, обеспечивающее минимальную дисперсию:

. (2.47)

При ₁₂  0;

. (2.48)

При ₁₂  1;.

. (2.49)

При ₁₂  1;

. (2.50)

Пример. Найти портфель с минимальной дисперсией, если он состоит из двух активов с m₁=5%; m₂=10%; ; ; и определить его характеристики.

Решение. В соответствии с (2.47) получаем

.

Тогда .

Характеристики портфеля:

В общем случае нахождение оптимального портфеля по Марковицу (минимизация риска при заданном уровне ожидаемой доходности) является задачей квадратичного программирования, так как весовые коэффициенты х_i, входят в выражение для дисперсии в квадрате [18].

2.7. Оценка риска на основе показателей финансового состояния субъектов экономической деятельности

Суха, мой друг, теория везде,

А древо жизни пышно зеленеет!

“Фауст”. Иоганн Вольфганг Гёте

2.7.1. Z-модель

Информационной базой для оценивания финансового состояния субъектов экономической деятельности (предприятий) является баланс (форма №1), отчет о финансовых результатах (форма №2), отчет о движении денежных средств (форма №3), отчет о собственном капитале (форма №4), данные статистической и оперативной отчетности.

Информация, которая используется для анализа финансового состояния предприятия, подразделяется на открытую и закрытую (конфиденциальную).

Информация, которая содержится в бухгалтерской и статистической отчетностях, является открытой, поскольку выходит за границы предприятия.

Вместе с тем, каждое предприятие разрабатывает свои финансовые показатели, нормативы, тарифы и лимиты. Эта информация, как правило, является конфиденциальной. Предприятие имеет право держать эту информацию в тайне.

В зависимости от вида финансово-экономической деятельности предприятия количество показателей финансового состояния предприятия Z_i может быть несколько десятков. Специалисты предлагают для использования более 60 показателей, из которых есть обязательные для использования и рекомендуемые.

Ниже будет рассмотрена Z-модель, в которой используются отдельные показатели финансового состояния предприятия, на основе которой производится оценка риска банкротства предприятия.

Банкротство – это такое состояние субъекта экономической деятельности, при котором невозможно его функционирование с прибылью.

С математической точки зрения Z-модель представляет собой, с одной стороны, обобщенный аддитивный показатель, в котором в качестве частных показателей используются соответствующие показатели финансового состояния Z_i, , а их коэффициенты приоритетности k_i, , определяются путем обработки исходных статистических данных, а с другой стороны, – это линейная модель множественной регрессии.

В общем виде Z-модель субъекта экономической деятельности, описывающая то или иное его состояние, имеет вид

(2.51)

Вероятность нахождения предприятия в исследуемом состоянии (например, А = банкротство) приближенно оценивается по формуле

(2.52)

Если Z = 0, то вероятность банкротства равна 0,5. Отрицательные значения Z свидетельствуют про уменьшение вероятности банкротства, а положительные про то, что вероятность события А больше 0,5 и увеличивается с увеличением Z.

Поскольку модель является приближенной, то часто определяют не Z₀, а пороговые значения Z_он и Z_ов. При этом если величина , то считается, что вероятность банкротства высокая, а в случае – вероятность банкротства низкая. При значениях Z_он < Z < Z_ов состояние предприятия не определено (модель дает “сбой”).

В 1968 году Е. Альтман предложил двухкритериальную модель для оценки риска банкротства субъектов экономической деятельности:

Z = –1,0736 Z₁ + 0.05792 Z₂ – 0.3877, (2.53)

где ;

Пример. Предприятие характеризуется следующими показателями финансовой отчетности: Z₁ = 1,2; Z₂ = 45%. Определить вероятность банкротства предприятия.

Решение. Используя двухкритериальную модель Альтмана, получаем

Z = –1,0736  1,2 + 0,05792  45 – 0,3877 = 0,93.

Тогда вероятность банкротства .

Полученная вероятность банкротства очень высокая.

Хоть двухкритериальная модель и привлекает своей простотой, но она дает низкую точность прогноза. Поэтому в странах с развитой рыночной экономикой используется для оценки риска банкротства пятикритериальная Z-модель Альтмана:

Z = –3,3 Z₁ – 1,0 Z₂ – 0,6 Z₃ – 1,4 Z₄ – 1,2 Z₅ + 2,675, (2.54)

где ;

;

;

;

.

Критическое значение Z₀ = 2,675.

Правила классификации остаются прежними, если Z < 0, то предприятие относится к успешным (риск банкротства мал). Если Z > 0, предприятие следует отнести к группе вероятных банкротов (в ближайшие два – три года ему грозит банкротство).

Пример. Предприятие характеризуется следующими показателями финансовой отчетности: Z₁ = 0,2; Z₂ = 0,15; Z₃ = 2; Z₄ = 0,05; Z₅ = 0,3. Требуется определить, относится ли предприятие к успешным.

Решение.

Z = 3,3  0,2 – 1,0  0,15 – 0,6  2 – 1,4  0,05 – 1,2  0,3 + 2,675 = 0,235.

Так как Z > 0, то предприятие следует отнести к группе вероятных банкротов.

Альтман определил, что при Z_он = 1,81 < Z < Z_ов = 2,675 данная модель “дает сбой”, поэтому интервал является интервалом неопределенности риска банкротства. Для случая отсутствия развитого фондового рынка (нынешняя ситуация в Украине), более адекватной является следующая пятикритериальная Z-модель [15]:

Z = – 3,107 Z₁ – 0,995 Z₂ – 0,42 Z₃ –

– 0,847 Z₄ – 0,717 Z₅ + 1,23, (2.55)

где новый показатель Z₃ определяется следующим образом:

.

Для машиностроения может использоваться двухкритериальная Z-модель [15]:

Z = – 0,44 Z₁ + 0,02 Z₂ + 0,36,

а для угольной промышленности Z-модель вида:

Z = –3,96 Z₁ – 0,02 Z₂ + 4,22.

Как видим, весовые коэффициенты и Z₀ в Z-модели сильно отличаются не только от страны к стране, но и от областей экономики.

2.7.2. Z-модель Чессера

Z-модели могут использовать не только для оценки риска банкротства предприятий, но и для оценки риска невыполнения должником условий кредитного договора (кредитного риска), инвестиционного риска и др.

Z-модель, предназначенная для прогнозирования случаев невыполнения должниками условий кредитного договора, была разработана Чессером. При этом в невыполнение условий входят любые отклонения от договора, которые неблагоприятны для кредитора, а не только непогашение кредита.

При разработке модели Чессер использовал статистические данные 37 успешных кредитных договоров и 37 неуспешных 4 коммерческих банков трех штатов США за 1962 – 1971 годы.

Модель Чессера имеет вид:

Z = –5,24Z₁ + 0,053Z₂ – 6,6507Z₃ + 4,4009Z₄ –

– 0,0791Z₅ – 0,1020Z₆ – 2,0434, (2.56)

где

Вероятность невыполнения условий кредитного договора Р оценивается по формуле:

. (2.57)

Недостатком модели Чессера является то, что она предназначена для прогнозирования исходов лишь краткосрочных кредитов (до 1 года). Кроме того, модель Чессера, как и модель Альтмана, соответствует условиям развитой рыночной экономики. Для условий переходной рыночной экономики Украины необходимо разрабатывать свои, более адекватные модели.