Лабораторна робота № 2. І. Представлення чисел в різних кодах і операції над ними. Подання числових даних у пам'яті еом

Теоретичний матеріал.

Для подання інформації в пам'яті ЕОМ (як числової, так і не числової) використовується двійковий спосіб кодування.

Елементарна комірка пам'яті ЕОМ має довжину 8 біт (байт). Кожен байт має свій номер (його називають адресою). Найбільшу послідовність біт, яку ЕОМ може обробляти як єдине ціле, називають машинним словом. Довжина машинного слова залежить від розрядності процесора і може бути рівної 16, 32, 64 бітам і т.д.

Кодування символів

Для кодування символів достатньо одного байта. При цьому можна уявити 256 символів (з десятковими кодами від 0 до 255). Набір символів персональних ЕОМ, сумісних з IBM PC, частіше за все є розширенням коду ASCII (American Standard Code for Information Interchange - стандартний американський код для обміну інформацією). В даний час використовуються і двобайтові представлення символів.

Двійково-десяткове кодування

В деяких випадках при поданні чисел в пам'яті ЕОМ використовується змішана двійково-десяткова "система числення", де для зберігання кожного десяткового знака потрібен напівбайт (4 біта) і десяткові цифри від 0 до 9 представляються відповідними двійковими числами від 0000 до 1001. Наприклад, упакований десятковий формат, призначений для зберігання цілих чисел з 18-ю значущими цифрами і займає в пам'яті 10 байт (старший з яких знаковий), використовує саме цей варіант.

Основні способи представлення чисел

Застосовуються два основні способи представлення чисел - з фіксованою і плаваючою комою. Більшість універсальних ЕОМ працюють з числами, представленими з плаваючою комою, а більшість спеціалізованих - з фіксованою комою.

Проте цілий ряд машин працює з числами в цих двох форматах.

Основна незручність побудови пристроїв, що реалізовують арифметичні операції, полягає в складному характері алгоритму віднімання. Для його подолання в ЕОМ завжди операція виконується за іншими правилами, чим це робиться звичайно. У його основі лежить операція додавання. Алгоритми виконання такого роду операцій вимагають спеціальних кодів представлення від'ємних чисел.

Прямий код.

Це природне і найбільш звичне представлення числа в наступному вигляді:

знак: "+" відповідає 0

знак "-" відповідає 1

У цифрових розрядах пишеться модуль додатного або від'ємного числа.

[Х]пк - позначимо таким чином зображення числа "X" в прямому вигляді.

Зауваження.

1. Перед виконанням операції віднімання чисел з однаковими знаками і додавання з різними, необхідно порівняти по модулю два коди і, якщо потрібно, зробити перестановку кодів місцями, потім можна виконувати власне операцію віднімання кодів.

2. При виконанні операції множення окремо і незалежно знаходяться модулі добутків кодів, а знак знаходиться як результат операції додавання по модулю два:

1. [X]_nK*[Y]_nK = sign Z. |Z|

2. |Z| = |X|*|Y|

3. sign Z = sign X Å sign Y або S_z = S_x Å S_y

Власне множення виконується із застосуванням мікрооперацій додавання і зсуву. Аналогічно множенню виконується операція ділення з використанням мікрооперацій віднімання і зсуву. Внаслідок ряду незручностей в ЕОМ операції віднімання, додавання чисел з різними знаками і ділення в прямому коді практично не виконуються.

Доповнюючий (додатковий) код.

Доповнюючим називається код, в якому для додатнього числа в знаковому розряді пишеться "0", в цифрових - модуль числа, а для від'ємного в знаковому розряді пишеться "1", в цифрових - доповнення числа до одиниці.

Це також правило переводу з доповнюючого коду в прямий код.

Діапазони представлених чисел: Х_+min = 0,0...0 - додатній нуль

Х_+max = 0,11... 1 = 1-2^-n - максимальне додатне число. X-_min = 1,11... 1 = 2-2^-n - мінімальне від'ємне число Х_-max = 1,0...0 - найбільше (по модулю) від'ємне число

Обернений код

Оберненим називається код, для якого в знаковому розряді додатнього числа пишеться "0", в цифрових - модуль числа, а для від'ємного - в знаковому розряді пишеться одиниця, в цифрових - інвертовані розряди початкового числа.

Діапазон чисел:

Х_+min = 0,0...0 - додатній нуль

Х_+max = 0,11... 1 = 1-2^-n - максимальне додатне число. X-_min = 1,11... 1 = 2-2^-n+1 - мінімальне від'ємне число Х_-max = 1,0...0 = 1 - найбільше (по модулю) від'ємне число

У оберненому коді є два зображення нуля:

"Додатний" нуль: [Х]ок = 0,0.0 і "від'ємний" нуль: [Х]ок =1,11.11

Одиниця переносу в знаковому розряді еквівалентна одиниці молодшого розряду. Тому при виконанні операції додавання-віднімання необхідно виникаючий перенос циклічно додавати в молодший розряд проміжного результату.

Зауважимо, що отримання оберненого коду простіше, ніж доповнюючого. Це є порозрядно виконувана мікрооперція інверсії коду. Як стане ясно з схемного рішення, ця мікрооперація виконується так само швидко, як і передача коду.

Оскільки результатом операції є сукупність результатів по всіх розрядах, то дану операцію можна виконувати одночасно над усіма цифровими розрядами числа.

У додатковому коді діапазон значень величин залежить від кількості біт пам'яті, відведених для їх зберігання. Наприклад, величини типу Integer (всі назви типів даних тут і нижче представлені в тому вигляді, в якому вони прийняті в мові програмування Turbo Pascal. В інших мовах такі типи даних теж є, але можуть мати інші назви) лежать в діапазоні від -32768 (-215) до 32767 (215 - 1) і для їх зберігання відводиться 2 байти (16 біт); типу LongInt - в діапазоні від -231 до 231 - 1 і розміщуються в 4 байтах (32 біта); типу Word - в діапазоні від 0 до 65535 (216 - 1) (використовується 2 байта) і т.д.

Як видно з прикладів, дані можуть бути інтерпретовані як числа зі знаком, так і без знака. У разі подання величини зі знаком самий лівий (старший) розряд вказує на позитивне число, якщо містить нуль, і на негативне, якщо - одиницю.

Взагалі, розряди нумеруються справа наліво, починаючи з 0. Нижче показана нумерація біт в двохбайтному машинному слові

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Додатковий код позитивного числа збігається з його прямим кодом. Прямий код цілого числа може бути отриманий таким чином: число переводиться в двійкову систему числення, а потім його двійкову запис зліва доповнюють такою кількістю незначущих нулів, скільки вимагає тип даних, до якого належить число.

Наприклад, якщо число 37₁₀ = 100101₂ оголошено величиною типу Integer (шістнадцятибітове зі знаком), то його прямим кодом буде 0000000000100101, а якщо величиною типу LongInt (тридцятидвохбітове зі знаком), то його прямий код буде 00000000000000000000000000100101. Для більш компактного запису частіше використовують шістнадцяткове представлення коду. Отримані коди можна переписати відповідно як 0025₁₆ і 00000025₁₆.

Додатковий код цілого від'ємного числа може бути отриманий за наступним алгоритмом:

записати прямий код модуля числа;

інвертувати його (замінити одиниці нулями, нулі - одиницями);

додати до інверсного коду одиницю.

Наприклад, запишемо додатковий код числа -37, інтерпретуючи його як величину типу LongInt (тридцятидвохбітове зі знаком):

прямий код числа 37 є 00000000000000000000000000100101;

інверсний код 11111111111111111111111111011010;

додатковий код 11111111111111111111111111011011 або FFFFFFDB₁₆.

При отриманні числа за його додатковим кодом (наприклад при додаванні чисел) перш за все необхідно визначити його знак. Якщо число виявиться позитивним, то просто перевести його код в десяткову систему числення. У разі негативного числа необхідно виконати наступний алгоритм:

1). інвертувати код;

2). додати до коду числа 1;

3). перевести в десяткову систему числення. Отримане число записати зі знаком мінус.

Приклади. Запишемо числа, задані додатковими кодами:

0000 0000 0001 0111. Оскільки в старшому розряді записаний нуль, то результат буде позитивним. Це код числа 23.

1111 1111 1100 0000₂. Тут записаний код негативного числа. Виконуємо алгоритм:

1). 0000 0000 0011 1111₂, 2). 0000 0000 0011 1111₂ +1₂ =0000 0000 0100 0000₂ 3) 1000000₂ = 64₁₀.

Відповідь: -64.