Вопрос №26

Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Плоскость в пространстве определяется точкой и нормальным вектором. Прямая в пространстве определяется точкой и направляющим вектором.

Поэтому при решении задач на взаимное расположение прямой и плоскости надо использовать операции с геометрическими векторами, условия ортогональности и коллинеарности векторов.

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными (2 уравнения прямой и 1 уравнение плоскости) или использовать параметрические уравнения прямой.

Вопрос №27

Расстояние от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости в пространстве.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁: (1). Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений: . Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0, то, решая, получим: . Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:.

Расстояние от точки до плоскости.

.

Вопрос №28

Угол между двумя прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения: l₁: , l₂: .

. Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом: .

Условия параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: . Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:||.Это условие выполняется, если:A₁\A₂=B₁\B₂=C₁\C₂.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. .

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. .

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю. .