Вопрос №6

Системы линейных уравнений. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит их произведений.

Запись в матричной форме.

- система линейных уравнений.

Обозначим, - матрица коэффициентов, - вектор неизвестных,

-вектор свободных членов. A_mn X_n1 + B_m1 = 0 - матричная запись системы уравнений.

Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, не имеет – несовместной. Совместная система, имеющая одно решение, называется определенной, если много – неопределенной. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если каждое решение является решением уравнения системы или наоборот.

Вопрос №8

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей (формулы Крамера). Пусть Δ = |A| определитель матричной системы n линейных уравнений с n неизвестных, а Δ_j определитель матрицы, полученный из матричной системы заменой j-того столбца на столбец правых частей. Тогда если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определенное по формулам x_j = Δ_j / Δ (j = 1,2,…n) – формула Крамера.

Вопрос №7

Обратная матрица. Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A^-1 такая, что A^-1A = A A^-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования A^-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A^-1существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение A_ijэлемента a_ij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим B^T.

Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А^-1 тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так:. Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы. Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.