2.6. Корреляционно-регрессионный анализ как основной метод изучения стохастических связей

Если связь между показателями не является строго детерми­нированной, то она корреляционная. Она характеризуется тем, что помимо изучаемых основных факторов на результативный показатель оказывают влияние и побочные факторы, искажаю­щие влияние основного.

Обязательным условием применения корреляционного метода является массовость значений изучаемых показателей, позволяю­щая выявить тенденцию, закономерность развития. Форма взаи­мосвязи между факторами и результативным показателем выявля­

ется только тогда, когда для исследования используется большое количество наблюдений. Тогда в соответствии с законом больших чисел влияние других факторов сглаживается, нейтрализуется.

Корреляция может быть парной и множественной.

Парная корреляция - это связь между двумя показателями, один из которых является фактором, другой - результативным показателем.

Множественная корреляция - связь между несколькими фак­торами и одним результативным показателем.

Корреляционный анализ направлен на решение двух задач:

• установление тесноты связи;

• количественную оценку влияния факторов на результа­тивный показатель.

Теснота связи между явлениями измеряется корреляционным отношением. Количественная оценка тесноты связи в зависимо­сти от корреляционного отношения приведена в табл. 2.6.

Таблица 2.6. Качественная оценка тесноты связи при различных значениях корреляционного отношения

Величина корреляци­онного отношения	0,I-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Теснота связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма высокая

Общая формула корреляционного отношения:

где ²у_х - среднее квадратическое отклонение у от теоретических значений у_х;

у_х определяется на основе уравнений регрессии; ²у - среднее квадратическое отклонение эмпирических (фактических) значений у.

В случае прямолинейной зависимости корреляционное от­ношение называется коэффициентом корреляции и обозначает­ся буквой r.

Корреляционное отношение (коэффициент корреляции) принимает значения от 0 до 1:

если (r) = 0, то связь между показателями отсутствует;

если (r) = 1, то связь функциональная (детерминированная);

если (r) - отрицательная величина, то связь между показа­телями обратная.

Алгоритм расчетов при корреляционном анализе связи пар­ной корреляции состоит из ряда этапов.

Этап 1. Производится отбор наиболее важных сущест­венных факторов, влияющих на результативный показатель. При отборе факторов учитываются причинно-следственные связи между показателями, причем все факторы должны быть количественно измеримы. Большую помощь при отборе фак­торов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и динамических рядов, линейные графики. Отбор показателей для анализа и придание им Статуса фактора или результативного значения осуществляются на основе знания экономических законов. На­пример, знание закона спроса и предложения помогает изучить влияние ценового фактора на изменение спроса. Отобранные для анализа показатели и результаты наблюдений за их изме­нением помещаются в таблицу, в которой факторные признаки располагаются в порядке возрастания или убывания, т.е. ран­жируются.

Этап 2. Данные из таблицы наносятся на плоскость коор­динат — строится корреляционное поле.

Этап 3. Производится обоснование формы связи:

• по форме корреляционного поля;

• путем визуального анализа ранжированного ряда.

Подобное обоснование является приблизительным и нуж­дается в дальнейшем уточнении с помощью ошибки аппрок­симации.

Форма связи определяет дальнейшие действия корреляцион­ного анализа.

Если связь носит прямолинейный характер, то рассчитывает­ся коэффициент корреляции.

Если связь криволинейная, то прежде всего определяются теоретические значения ух. С этой целью решается уравнение регрессии, описывающее связь между изучаемыми показателями. Затем рассчитывается корреляционное отношение.

Корреляционное отношение, или коэффициент корреляции, дает количественную оценку тесноты связи, характеризует силу влияния факторных признаков на результативные.

При прямолинейной форме связи коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции может быть представлен и как сред­нее значение произведений нормированных отклонений (/к, ty).

Нормированные отклонения определяются по формулам:

где _х, _у - средние квадратические отклонения:

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то полу­чим коэффициент (индекс) детерминации, который показывает, чему равна доля влияния изучаемого фактора на совокупный

показатель.

При значениях тесноты связи меньше 0,7 величина индекса детерминации а всегда будет меньше 50%. Это означает, что на долю вариации факторного признака х приходится меньшая до­ля по сравнению с другими признаками, влияющими на изме­нение результативного показателя. Синтезированные при таких условиях математические модели связи практического значения

не имеют.

Если значения показателей тесноты связи более 0,7, выбира­ется уравнение регрессии, с помощью которого описывается форма связи между показателями.

Этап 4. Выбор и решение уравнения регрессии. Выбор конкретного уравнения регрессии, адекватно описывающего форму связи, является довольно сложной процедурой. В услови­ях использования ПЭВМ выбор адекватной модели осуществляется перебором решений, наиболее часто применяемых в анали­зе парной корреляции уравнений регрессии. Если форму связи сразу установить сложно, решают уравнения нескольких типов. Выбор адекватной модели производится на основе ошибки ап­проксимации :

г де у_х - теоретическое значение, рассчитанное на основе выбранной модели.

Наибольшее значение ошибки аппроксимации свидетельст­вует о том, что оцениваемая модель дает наиболее адекватное описание формы взаимосвязи. Причем ошибка аппроксимации не должна превышать 0,2, или 20%.

Прямолинейное уравнение регрессии показывает равномер­ное нарастание результативного признака с увеличением фак­торного:

у = а + Ьх.

Коэффициент регрессии Ь несет основную смысловую нагруз­ку в уравнении регрессии. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результативный признак у с изменением на одну единицу факторного признака х. Эта всегда именованная величина Ь на графике показывает угол наклона прямой.

Свободный член о показывает начальную ординату, т.е. рас­стояние от начала координат до пересечения прямой с осью у.

Значения коэффициентов определяются методом наименьших квадратов. Он основан на предположении, что линия, выравни­вающая эмпирические данные, должна проходить так, чтобы сум­ма квадратов отклонений от этой линии была наименьшей, т.е.

Подставим в выражение Q теоретическое значение результа­тивного признака ух = а + Ьх, получим

б принимает минимальное значение, если частные произ­водные

После дифференцирования получим

Приравняв обе части к 0 и умножив их на - '-, получим:

Суммируя каждый член уравнения в отдельности, получим:

Криволинейная форма связи может быть представлена урав­нением гиперболы, параболы, логарифмической функцией и т.д.:

а) уравнение гиперболы

параметры а, Ь определяются на основе системы уравнений:

б) параболическая форма связи может описываться парабо­лическим уравнением, например параболой 2-го порядка:

Расчет аргументов производится также на основе принципа наименьших квадратов, т.е.

в) при логарифмической форме связи

у = а + Ь Igx

параметры уравнения определяются на основе системы уравнений:

Применение корреляционно-регрессионного анализа рассмотрим на примере прямолинейной зависимости меж­ду факторами х и результативным признаком у. Показате­ли условные, так как назначение примера - продемонст­рировать основные процедуры метода. Обозначим х — качество товара в баллах, у — розничная цена, руб.

Исходные и расчетные данные приведены в табл. 2.7.

Таблица 2.7. Данные доя расчета коэффициента корреляции и параметров уравнения прямой

Расчет коэффициентов корреляции проводится по формуле (2.3):

Зависимость между показателями весьма высокая. Коэффициент корреляции рассчитываем по формуле

Рассчитанный коэффициент корреляции показывает, что качество товара— основной ценообразующий фактор.

Коэффициент детерминации d = r², d = 0,98² = 0,96 означает, что цена товара на 96,0% зависит от качества, влияние прочих факторов составляет 4,0%.

Положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о наличии прямой связи между показа­телями.

Определим зависимость между ценой и качеством то­вара на основе уравнения прямой:

у=а+Ьх.

Составим систему нормальных уравнений по данным табл. 2.7:

Умножив все члены первого уравнения на 12 и вычтя из второго уравнения первое, получим: 514b = 337;

b = 0,656. Подставив полученное значение в первое или второе уравнение, получим а = 10,13.

Уравнение прямой примет вид: у = 10,13 + 0,66х.

Коэффициент регрессии Ь = 0,66 означает, что при изменении качества на 1 балл цена товара возрастает на 0,66 руб.

Этот условный пример показывает возможности метода в изучении зависимости между стохастическими показателями.

Математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа оказался очень удобным для определения взаимозави­симостей между различными величинами. Но наряду с просто­той у этих видов анализа имеется существенный недостаток -исследуется только линейная зависимость между результирую­щим параметром и независимым фактором.

На практике значительно чаще встречаются многомерные за­висимости, т.е. такие, в которых результирующий параметр за­висит от многих факторов, и зависимости нелинейные.

Определение нелинейной корреляционной зависимости. Одним из способов нахождения зависимости является метод замены переменной. Этот метод довольно часто используется при реше­нии различных математических задач. Он заключается в том, что независимый фактор заменяется некоторой функцией этого фактора, которая переводит нелинейную зависимость в разряд линейных.

Например, рассмотрим нелинейную зависимость вида у = x². Это не что иное, как парабола с вершиной в начале коорди­нат. Зависимость явно нелинейная. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на график этой зависимости (рис.2.3).

Рис. 2.3. График зависимости у=х²

Сделаем замену переменной z = х². После подстановки в исходное уравнение получим зависимость вида у = z, которая уже является линейной. Для нее можно использовать весь ма­тематический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, т.е. можно находить регрессионное уравнение, ко­эффициенты парной корреляции, ошибки и т. д.

Некоторые виды подстановок приведены в табл. 2.8.

Т а б л и ц а 2,8. Различные виды подстановок, с помощью которых осуществляется переход от нелинейных зависимостей к линейным

Для нахождения лучшей подстановки можно использовать визуальный метод, когда «на глаз» определяется вид нелинейной зависимости, связывающей результирующий параметр и незави­симый фактор, а можно выбор наилучшей замены осуществлять, используя коэффициент корреляции. Та подстановка, у которой коэффициент корреляции является максимальным, и является наилучшей.

Метод множественной корреляции. Этот метод применяется в случаях когда результирующий показатель зависит от несколь­ких взаимно независимых факторов. При этом применяется уравнение множественной регрессии:

y=ao+apCi+a2X2+...+ a„x„ (2.5)

При n=2 уравнение (2.5) превращается в обычное уравнение парной регрессии, при n=3 это уравнение описывает плоскость, а при больших размерностях - гиперплоскость. Иногда эту гиперплоскость называют поверхностью отклика. Для определения коэффициентов регрессионного уравнения используется исход­ный статистический материал (табл.2.9).

Таблица 2.9. Исходный статистический материал

Номер наблюдения	Фактор				Результирующий показатель
	Xl	хг	...	Хп	У
1	хц	хц	...	Х1я	Vi
2	Хи	Х22	...	Хъ,	У-1
.	...	...	...	...	•••
т	Хщ\	Ли	...	Хтп	Уп

Необходимым условием для Поиска коэффициентов является требование того, чтобы количество наблюдений было больше числа независимых факторов +1. Для определения коэффициен­тов регрессионного уравнения (2.5) удобнее всего использовать методы матричного исчисления. Для этого сделаем одно допу­щение, которое не меняет условия задачи. Будем считать, что в уравнении (2.5) свободный член oq всегда умножается на неко­торый фиктивный фактор, имеющий постоянное значение, рав­ное единице, т.е. имеем:

y=aoXo+a₁X₁+a₂X₂+….+a_nX_n

В исходной статистической матрице (табл. 2.12) должен поя­виться еще один столбец (X₀), все значения которого равны еди­нице. Эту матрицу в дальнейшем будем обозначать буквой X и называть расширенной матрицей независимых факторов:

Введем также вектор результирующих параметров:

В этих обозначениях коэффициенты регрессионного уравне­ния (2.5) также можно представить в виде вектора:

Тогда систему нормальных уравнений для отыскания неиз­вестных коэффициентов регрессионного уравнения (2.5) можно записать следующим образом:

X^^Y, (2.6)

где X7'— транспонированная расширенная матрица независимых фак­торов.

В расширенном виде матричное уравнение (2.5) запишется так:

Если теперь обе части матричного уравнения умножить справа на матрицу, обратную Х^TХ ,то получим новое матричное уравнение:

ЕВ = (X^TX)^-1X^TY, (2.7)

где Е — единичная матрица.

Уравнение (2.7) и есть искомое для нахождения коэффици­ентов множественной регрессии.

Расчет взаимодействия между результирующим параметром и независимым фактором с помощью корреляционных функций. Не­смотря на очевидные достоинства корреляционного метода ана­лиза, у него есть существенный недостаток — поведение и ре­зультирующего показателя и независимого фактора должно из­меняться одновременно. Если это условие не выполняется, то можно получить неадекватные выводы. Для устранения этого недостатка необходимо использовать корреляционные функции — автокорреляционную и взаимокорреляционную, формулы для расчета которых приведены ниже.

Автокорреляционная функция R_xx определяется следующим выражением:

Взаимокорреляционная функция

Определение временного сдвига (временного лага) двух пере­менных. На практике часто случается так, что реакция на какое-то возмущение в динамической системе (в качестве динамической системы может выступать экономическая система) следует не сразу, а через некоторый промежуток времени. Такой вре­менной сдвиг в экономике называется временным лагом. С по­мощью взаимокорреляционной функции можно определить-этот временной лаг. Значение независимой переменной, при котором наблюдается максимальное значение взаимокорреляционной функции, есть временной лаг (рис. 2.4).

Учет временного сдви­га при определении вза­имозависимости резуль­тирующего параметра и независимого фактора позволяет получать более корректные выводы.

Рис. 2.4. Определение «ременного лага с помощью взаимокорреляционной функции

Определение периоди­ческих процессов. Встре­чающиеся иногда в прак­тической деятельности периодические процессы также можно исследо­вать с помощью корре­ляционных функций, в данном случае — взаимокорреляционной функции.

При этом максимальные значения взаимокорреляционной функции (рис. 2,5) будут соответствовать периодам исследуемого процесса.

Корреляционные фун­кции позволяют более глубоко исследовать взаи­мозависимости различ­ных переменных. Здесь приведены только самые общие понятия. При помощи этих функций можно исследовать раз­личные классы зависи­мостей, в том числе и многомерные. Однако для применения этих методов необходимо использование информационных технологий поскольку требуются значительные по объему вычисления.

Рис. 2.5. Определение периода Т циклического процесса с помощью взаимокорреляционной функции.

2.7. Матричный метод и его применение в сравнительном многомерном анализе

Матричные методы анализа основаны на линейной и векторно-матричной алгебре и применяются для изучения сложных и многомерных структур. Сферы применения матричного метода как метода экономического анализа многообразны, но наиболее широкое распространение получил метод для сравнительной оценки деятельности различных систем (предприятий, структур­ных подразделений и т.п.).

В результате сравнительного анализа определяется рейтинг анализируемых систем. Рассмотрим алгоритм применения мат­ричного метода.

Этап 1. Обоснование системы оценочных показателей и формирование матрицы исходных данных а_ij, т.е. таблицы, где по строкам отражаются номера систем (i =1, 2, ..., n), a no столбцам - номера показателей (j = 1, 2,..., m).

Этап 2. В каждой графе определяется максимальный эле­мент, который принимается за единицу. Затем все элементы этой графы а_ij, делятся на максимальный элемент эталонной системы mаха_ij и создается матрица стандартизованных ко­эффициентов Х_ij.

Этап 3. Все элементы матрицы возводятся в квадрат. Если значимость показателей, составляющих матрицу, различна, тогда каждому показателю присваивается весовой коэффициент k, ко­торый определяется экспертным путем.

Рейтинговая оценка по каждой системе определяется по формуле:

Этап 4. Полученные рейтинговые оценки R/ размещаются в порядке убывания или возрастания, что зависит от экономиче­ского смысла показателей, составляющих рейтинг.

Результаты описанного сравнительного анализа могут при­меняться для определения инвестиционной привлекательности партнера, эмитента и для других целей.

Этап1

Таблица 2.10. Матрица исходных данных

Примечание. Рамкой отмечены максимальные значения.

Рассмотрим пример применения матричного способа для определения рейтинга исследуемых систем.

Этап 2. Таблица 2.11. Матрица стандартизованных коэффициентов

Номер исследуемой системы	Показатели
	1	2	3	4	5
1	0.718	0,758	0,773	0.903	0.036
2	0.525	1	0,273	0,625	0,536
3	0,795	0,432	0,864	0.750	1
4	1	0,863	0,909	1	0,786
5	0.833	0,674	1	0,944	0,500

Значимость коэффициентов предполагается одинако­вой, поэтому достаточно их возвести в квадрат, сложить по строкам и определить рейтинговые оценки (этапы 3 и 4).

Система № 4 имеет самую высокую рейтинговую оценку.

Рассмотренные методы экономического анализа имеют практическую значимость и могут быть применены для оценки любого показателя или сферы деятельности пред­приятия, чаще всего в комплексе.

Таблица 2.12. Матрица квадратов и рейтинговая (щенка исследуемых систем

Номер исследуемой системы	Показатели					Ri	Место
	1	2	3	4	5
1	0,516	0,575	0,598	0,815	0.001	1,300	V
2	0,277	1	0,075	0.391	0,287	1,425	IV
3	0,632	0,187	0,746	0,563	1	1,769	in
4	1	0.745	0,826	1	0,618	2,047	I
5	0,694	0,454	1	0,891	0,250	1.814	II

Резюме

Метод экономического анализа как совокупность приемов и способов применим для изучения поведения объекта иссле­дования на различных стадиях жизненного цикла системы и для решения любых управленческих задач. Множество техни­ческих приемов и способов группируется по ряду признаков: научному подходу, характеру взаимосвязи, степени сложности применяемого инструментария» методам оптимизации.

Одной из основных задач и особенностей анализа является количественная оценка взаимосвязи показателей, описываю­щих состояние системы. На выявление и измерение взаимо­связи показателей направлены методы детерминированного и стохастического факторного анализа. Методы детерминиро­ванного факторного анализа требуют построения факторных моделей, которые можно свести к четырем типам: аддитив­ные, мультипликативные, кратные, смешанные.

Наиболее распространенными способами факторного детер­минированного анализа являются метод цепной подстановки и его модификации — способ абсолютных разниц; способ про­стого прибавления неразложимого остатка, способ взвешенных конечных разностей; логарифмический способ долевого участия, интегральный, индексный. Выбор способа изучения факторной модели определяется его преимуществами перед остальными в каждой конкретной ситуации и в применении к конкретным аналитическим задачам. Характеристики способов детермини­рованного факторного анализа сведены в табл. 2.13.

Для изучения стохастических, вероятностных взаимосвязей применяется корреляционно-регрессионный метод анализа. Его применение позволяет количественно оценить тесноту связи между изучаемыми величинами, дать оценку доли влия­ния факторов на результативный показатель, описать форму взаимосвязи, определить прогнозное значение совокупного показателя при изменении факторного.

Таблица 2.13. Характеристики способов детерминированного факторного анализа

Способ	Достоинства	Недостатки	Количество факторов в модели	Типы решаемых моделей *
1	2	3	4	5
Цепных подстановок	Универсальность	Неразложимого остатка; необходимость последовательности подстановки	Два и более	А, М. К, С
Абсолютных разниц	Те же	Те же	Два и более	A.M. К. С
Простого прибавления неразложимого остатка	Распределение неразложимого остатка по факторам	Неточность распределения	Два	М.А
Взвешенных конечных разностей	Те же	Те же	Два и более	А.М
Логарифмический	Безостаточное определение влияния факторов	Ограничение в применении	Два и более	М.К
Долевого участия	Не требует дополнительного построения моделей для изучения влияния факторов второго и последующих уровней	Ограничение в применении	Два и более	А
Индексный	Применяется для изучения сложных статистических совокупностей	Наличие неразложимого остатка; ограничение в применении	Два и более	М.К
Интегральный	Универсальность; безостаточное определение влияния факторов	Сложность математического аппарата обязательное использование ПЭВМ	Два и более	М. К, С.

* Обозначение моделей: А — аддитивные; М — мультипликативные; К — кратные, С — смешанные.

Вопросы для контроля

1. Какие отличительные особенности характеризуют метод экономического анализа?

2. Какие принципы лежат в основе классификации приемов и способов анализа?

3. Чем отличаются способы детерминированного и стохастиче­ского факторного анализа?

4. Какую роль в экономическом анализе выполняет способ срав­нения?

5. Объясните способы построения детерминированных фактор­ных моделей.

6. Опишите алгоритм применения наиболее простых способов детерминированного факторного анализа: способа цепных подстановок, способа разниц. Какие приемы применяются для распределения неразложимого остатка по факторам?

7. Охарактеризуйте достоинства и опишите алгоритм приме­нения логарифмического и интегрального методов.

8. Приведите примеры задач и факторных моделей, к которым применяется каждый из методов детерминированного фак­торного анализа.

9. В какой последовательности применяется корреляционно-регрессионный метод изучения линейной и нелинейной форм связи?

10. Опишите значение и алгоритм применения матричного метода.