22.1 Волновое уравнение для электромагнитных волн

Качественные соображения, указывающие на возможность существования электромагнитных волн, заключаются в следующем. Согласно уравнениям Максвелла, переменное электрическое поле (ток смещения) порождает магнитное, которое тоже должно быть переменным (чтобы порождаемое магнитное поле было постоянным необходимо постоянство производной , чего не может быть в течение длительного времени). Переменное магнитное поле, в свою очередь, порождает переменное электрическое, и т.д.. В результате в пространстве должна возникнуть последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей. Этот процесс может быть бесконечным во времени и пространстве и представляет собой электромагнитную волну.

Покажем теперь более строго, что существование электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла. Для этого необходимо из уравнений Максвелла получить волновое уравнение. С этой целью рассмотрим однородную, нейтральную (плотность заряда ), не проводящую (плотность тока ) среду с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями. С учетом этих ограничений будем использовать следующие соотношения:

; ; ; , (22.1)

и представим уравнения Максвелла в виде:

; (22.2)

; (22.3)

; (22.4)

. (22.5)

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (22.2) и поменяем порядок дифференцирования в правой части:

. (22.6)

Подставим в (22.6) выражение для ротора из уравнения (22.4):

. (22.7)

Воспользуемся тождеством векторного анализа: :

. (22.8)

Учтем, что, согласно (22.3), , и получим:

. (22.9)

Величина называется электродинамической постоянной и равна скорости света в вакууме. Поэтому (22.9) можно представить в виде:

. (22.10)

Это уравнение является волновым уравнением для вектора напряженности электрического поля.

Аналогичные преобразования можно провести, начиная с уравнения (22.4), и получить в результате волновое уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

. (22.11)

Таким образом, электрическое и магнитное поля могут существовать в виде электромагнитной волны, фазовая скорость распространения которой (квадратный корень из величины коэффициента перед производной по времени в волновом уравнении),

. (22.12)

22.2 Плоская электромагнитная волна

Для того, чтобы представить структуру электрического и магнитного полей в электромагнитной волне, исследуем с помощью уравнений Максвелла простейшую – плоскую электромагнитную волну.

Направим ось Ох перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда векторы

и , а значит и их компоненты, не будут зависеть от координат z и y. Поэтому производные от векторов поля по этим координатам равны нулю. С учетом этого запишем уравнение Максвелла (22.2) в проекциях на оси координат:

на ось Ох ; (22.13)

на ось Оу (22.14)

на ось Оz ; (22.15)

Уравнение (22.4) в проекциях на оси координат дает следующие три соотношения:

на ось Ох ; (22.16)

на ось Оу (22.17)

на ось Оz ; (22.18)

Из уравнения (22.5) следует:

, (22.19)

а из уравнения (22.3) 

(22.20)

Соотношения (22.13) и (22.19) показывают, что составляющая не зависит ни от х, ни от . Аналогично соотношения (22.16) и (22.20) указывают на независимость от х и составляющей поля волны . Поэтому ненулевые составляющие и могут быть только постоянными во времени однородными полями. Но к электромагнитной волне, в которой переменные во времени и пространстве составляющие порождают друг друга, постоянные поля не могут иметь никакого отношения и могут быть только некими внешними полями. Следовательно, в плоской электромагнитной волне составляющие и равны нулю, а значит, она является поперечной. Поперечность в данном случае означает, что в плоской ЭМВ

Для дальнейшего анализа объединим в пары уравнения (22.15), (22.17) и (22.14), (22.18) в соответствии с составляющими, которые они связывают:

, (22.21)

(22.22)

Допустим, что в начальный момент было создано электрическое поле вдоль оси Оу - . Из (22.21) следует, что это поле порождает е67апнаеакмагнитное поле направленное по оси Oz, которое, в свою очередь, может создать электрическое поле только вдоль оси Оу. Составляющие полей из уравнений (22.22) при этом возникнуть не могут. Аналогиччная ситуация имеет место и для уравнений (22.22). Забегая вперед, отметим, что указанная особенность соотношений (22.21) и (22.22) отражает тот факт, что каждая из пар соответствует независимой электромагнитной волне, и эти две волны отличаются ориентацией в пространстве векторов поля – поляризацией волн. Поэтому нам достаточно проанализировать только одну пару уравнений – например, (22.21).