22.6 Энергия упругой волны

Рассмотрим в среде, в которой распространяется упругая вол­на (22.10), элементарный объём достаточно малый, чтобы деформацию и скорость движения частиц в нём можно было считать постоянными и равными:

и . (22.37)

Вследствие распространения в среде волны объём обладает энергией упругой деформации

(22.38)

В соответствии с (22.35) модуль Юнга можно представить в виде . Поэтому:

. (22.39)

Рассматриваемый объём обладает также кинетической энергией:

. (22.40)

Полная энергия объёма:

. (22.41)

А плотность энергии:

. (22.42)

Но

, а (22.43)

Подставим эти выражения в (22.42) и учтем, что :

. (22.44)

Таким образом, плотность энергии различна в разных точках про­странства и меняется во времени по закону квадрата синуса.

Сред­нее значение квадрата синуса равно 1/2, а значит среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды, в которой распространяется волна:

. (22.45)

Выражение (22.45) справедливо для всех видов волн.

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Следовательно, волна переносит с собой энергию.

22.8 Вектор Умова. Интенсивность волны

Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени называется потоком энергии. Это скалярная величина.

Для характеристики течения энергии с учетом направления используется векторная величина, модуль которой равен потоку энергии через единичную площадку, помещённую в данной точ­ке перпендикулярно направлению, в котором переносится энергия, направленная в сторону переноса энергии и называемая плотностью потока энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную направлению рас­пространения волны, переносится за время энергия . Тогда, по определению, плотность потока энергии:

. (22.45)

Если энергия распределена в среде с плотностью , то через площадку за время будет перенесена энергия , заключенная в объёме :

(22.46)

Следовательно:

. (22.47)

Рассматривая фазовую скорость как вектор , направление которого совпадает с направлением распространения волны, можем записать:

. (22.48)

Вектор плотности потока энергии (22.48) был впервые введён в рассмо­трение Н.А.Умовым и называется вектором Умова.

Интенсивностью волны по определению называется среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.

В соответствии с (22.45) поток энергии через элементарную площадку , нормаль к которой составляет угол с вектором плотности потока энергии

. (22.48)

Поэтому поток через всю поверхность :

. (22.49)

В сферической волне плотность потока энергии постоянна на всей поверхности сферы, поэтому

. (22.49)

Учтем, что средний поток энергии равен мощности излучаемой источником волны, и если она постоянна, то

, (22.49)

т.е. амплитуда сферической волны обратна расстоянию до источника волны, что мы использовали при записи уравнения такой волны (22.11).

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ