22.3 Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

П олучим. Пусть колебания в плоскости, параллельной волновым поверхностям и проходящей через начало коорди­нат, имеют вид:

(22.12)

В плоскости, отстоящей от начала координат на расстояние l , колебания будут отставать по времени на . Поэтому уравнение колебаний в этой плоскости имеет вид:

(22.13)

Из аналитической геометрии известно, что расстояние от начала ко­ординат до некоторой плоскости равно скалярному произведению ради­ус-вектора некоторой точки плоскости на единичный вектор нормали к плоскости: . Рисунок иллюстрирует данное положение для двумерного случая. Подставим значение l в урав­нение (22.13):

(22.14)

Вектор , равный по модулю волновому числу и направленный по нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Уравнение плоской волны можно теперь записать в виде:

. (22.15)

Функция (22.15) даёт отклонение от положения равновесия точки с радиус-вектором в момент времени t. Для того, чтобы представить зависимость от координат и времени в явном виде необходимо учесть, что

. (22.16)

Теперь уравнение плоской волны принимает вид:

. (22.17)

Часто оказывается полезным представить уравнение волны в экспоненциальной форме. Для этого воспользуемся формулой Эйлера:

, (22.18)

где , запишем уравнение (22.15) в виде:

. (22.19)

22.4 Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым. Для того чтобы установить вид этого уравнения, найдем вторые производные по каждому из аргументов уравнения плоской волны (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

. 22.23)

Сложим первые три уравнения с производными по координатам:

. (22.24)

Выразим из уравнения (22.23) : , и учтем, что :

(22.25)

Сумму вторых производных в левой части (22.25) представим как результат действия оператора Лапласа на , и в окончательном виде представим волновое уравнение в виде:

(22.26)

Примечательно, что в волновом уравнении квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени дает скорость распространения волны.

Можно показать, что волновому уравнению (22.26) удовлетворяет любая функция вида:

, (22.27)

и каждая из них является уравнением волны и описывает некоторую волну.

22.5 Скорость упругих волн в твердой среде

Для расчета скорости упругих волн необходимо получить волновое уравнение, описывающее распространение волн в твердой среде и, в соответствии с (22.26), приравнять квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени скорости распространения волны.

С этой целью рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в вдоль оси Ох. Смещение из положения равновесия частиц зависит от координаты х: . Выделим в среде цилиндрический объем с основанием и высотой , которую будем предполагать значительно меньшей длины рассматриваемой волны  рисунок 22.3. В некоторый момент времени смещение из положения равновесия основания с координатой х равно , а основания с координатой  . Поэтому при распространении волны объем деформируется, получая алгебраическое удлинение . Среднее на длине относительное удлинение цилиндра равно . Истинное относительное удлинение в сечении с координатой х получим, устремив :

. (22.28)

Будем считать деформации в среде достаточно малыми, чтобы выполнялся закон Гука. Тогда механическое напряжение в среде связано с относительной деформацией соотношением:

, (22.29)

где  модуль Юнга среды.

Для того чтобы получить волновое уравнение, рассмотрим уравнение движения объема . Положим высоту достаточно малой, чтобы ускорение всех точек можно было считать одинаковым и равным . Если плотность недеформированной среды равна , то масса цилиндра равна =

= . Ускорение деформированного цилиндра по второму закону Ньютона определяется результирующей силой , действующей на него, а она, в свою очередь, разностью деформаций цилиндра в сечениях с координатами х + и х+x++:

(22.30)

Поскольку величины малые, то по формуле для малых найдем:

и (22.31)

Подставим эти выражения в (22.30) и получим выражение для силы в виде:

. (22.32)

При малых (!) деформациях, когда только и справедлив закон Гука, , поэтому с высокой точностью в (22.32) можно пренебречь и считать:

. (22.33)

Теперь уравнение движения цилиндра по второму закону Ньютона можно записать в виде:

откуда следует волновое уравнение для упругих волн в твердой среде:

. (22.34)

Сравнивая (22.34) и (22.26), видим, что скорость упругих волн в твердой среде

. (22.35)

Формула (22.35) получена нами для продольных волн. При распространении поперечных волн роль модуля Юнга играет модуль сдвига . Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят к следующей формуле для скорости поперечных волн:

. (22.36)

При распространении звуковых волн в газах вследствие невысокой теплопроводности газов при значительной скорости протекающих процессов смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс распространения волны является близким к адиабатическому. Скорость распространения волн в газе определяется давлением в невозмущенном волной газе, его плотностью и показателем адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме):

. (22.37)