О.О.П / ооп / 4_кол / К курсовой / Методи побудови алгоритмів та їх аналіз. Караванова Т.П. / 252_337

until flag;

х_0 := x[stack[count]]; у_0 := y[stack[count]]; {Перевірка можливого включення} х_1 :=х[к];у_1 :=у[к]; {до опуклої оболонки останньої точки.} х _ 2:=х[1];у _ 2:=у[1];

if (х_1 - х_0) * (у_2 - у_0) - (х_2 - х_0) * (у_1 - у_0) <= 0 then begin inc(count); stack[count] := k end;

Процедура сортування точок:

procedure sort(L, R: word); var i, j, L_R: word; w: real; begin

i:=L;j:=R;L _ R:=(L + R)div2; w:=x[L_R];

272

repeat

while (x[i] < w) or ((x[i] = w) and ((y[i] < y[L_R]))){l~loujyK зліва нижньої точки.} do і :=i + 1;

while (w < x[j]) or ((x[j] = w) and ((y[j] > y[L_R]))) {Пошук справа верхньої точки.}

Визначимо оцінку описаного алгоритму побудови опуклої оболонки методом додавання точок. Перегляд точок та їх аналіз щодо входження до опуклої оболонки оцінюється як О(п). Для поділу заданої множини точок на дві підмножини необхідно пе­ реглянути кожну точку лише по одному разу, тобто оцінка ефективності цієї частини алгоритму становить 0(п). Залиши­ лося врахувати упорядкування множини заданих точок за зрос­ танням відповідно до значень по осі абсцис 0(п logn). Таким чи­ ном отримаємо таку складність алгоритму: 0(п logn + п + п) = = 0(п (logn + 2)) = 0(п logn). Цей результат виглядає значно кра­ ще, ніж наведений вище повноперебірний варіант.

Для тестування даного алгоритму можна запропонувати розглянути такі множини точок, коли всі вони однозначно роз­ биваються на дві підмножини і жодна з точок не лежить на прямій поділу; коли в одну з під множин не потрапляє жодної точки, а це може бути тоді, якщо точки цієї підмножини ле­ жать на одній горизонталі; коли всі точки заданої множини утворюють прямокутник; коли лише деякі точки заданої мно­ жини утворюють прямокутник, а решта точок розміщені у се­ редині. Усі ці варіанти множин заданих точок варто перевіри­ ти для різної їх кількості, наприклад від 10 до 1000.

Алгоритм Грехема

Наступні два алгоритми побудови опуклої оболонки відрізняються від попереднього лише тим, що пропонують свої ідеї щодо порядку розгляду точок заданої множини. Адже саме ця частина алгоритму дає змогу скоротити кількість пере­ глядів заданих п точок для подальшого аналізу щодо їх вклю­ чення до опуклої оболонки.

Алгоритм Грехема ґрунтується на аналізі величин кутів (мал. 156). Для побудови цих кутів спочатку необхідно ви-

273

значити початкову точку, що є найлівішою серед решти за­ даних точок, тобто має най­ менше значення по осі абсцис. Якщо таких точок кілька, то серед них вибирається най­ нижча, тобто така, у якої зна­ чення по осі ординат наймен­ ше. На малюнку 156 такою точкою є точка pv

Оскільки інформація про кожну точку задається коор­ динатами на площині, то можна вважати, що існує дея­ ка декартова система коорди­

нат, і тому через точку р1 можна провести пряму, паралельну осі ординат. З'єднаємо відрізками точку р1 з рештою точок р2, р3, ...,рпі розглянемо кути, які утворили ці відрізки із прямою, проведеною через точкурх . Ці кути матимуть значення від -л/2 до я/2, оскільки за побудовою всі точки заданої множини зна­ ходяться правіше прямої, що проходить через точкур1 т або зна­ ходяться на цій прямій.

Далі логіка алгоритму Грехема є досить прозорою. Не­ обхідно упорядкувати точки р2, р3, ..., рп відповідно до збіль­ шення кута між відрізками, що з'єднують ці точки з точкоюрх , та прямою, що проходить черезр1 . Оскільки точкарх обов'язко­ во за побудовою входить до опуклої оболонки, то для включен­ ня до неї решти точок необхідно здійснювати їх перегляд саме за такою упорядкованою послідовністю. Це дасть змогу пере­ глядати кожну точку лише один раз.

Включення точок до опуклої обо­ лонки здійснюється з використан­ ням стеку, як було описано у методі додавання точок. У нашому випад­ ку опукла оболонка будується проти годинникової стрілки, і тому для визначення її вершин треба викону­ вати лише ліві повороти. Цей мо­ мент продемонстрований на малюн­ ку 157: при переході від точки р2 до

Мал. 157 точки р3 було виконано лівий пово­ рот, а від точкир3 до точкир4 - правий, тому точкар3 не входить до опуклої оболонки і її необхідно виключити із стеку.

Виконаємо алгоритм Грехема покроково на прикладі, на­ веденому на малюнку 156. Покрокові результати виконання зображені на малюнках 158-160: у верхній частині - графічне зображення, у нижній - поточний стан стеку.

274

275

12 3 4 6 7

276

повороту між ними. При цьому спостереження ведеться з точки, що знаходиться у вершині стеку, тобто з точки/jj (мал. 158, б). Напрям повороту лівий, тому точка р2 заноситься до стеку.

На третьому кроці виконання алгоритму спостереження за напрямом повороту від точки ps до точки рі ведеться із точки р2, оскільки на поточний момент саме ця точка знаходиться у вершині стеку (мал. 158, в). Поворот, показаний на малюнку, є лівим, і тому точкар3 також заноситься до стеку.

Аналогічна ситуація спостерігається і на четвертому кроці, коли із точки р3 аналізується поворот від точки р4 до точки рь. Точкар4 заноситься до стеку і стає її вершиною (мал. 158, г).

277

Виконання п'ятого кроку зображене на малюнку 158, д. Дивлячись із точки р4 у точку рь, а потім переходячи до точки р6, ми виконаємо правий поворот, що суперечить виконанню алгоритму. Це означає, що точка р5 не може бути вершиною опуклої оболонки і тому вона вилучається із подальшого пере­ гляду. Надалі точкарь зображується незафарбованою. Точкар4 вилучається зі стеку зменшенням порядкового номера його вершини на 1, і тим самим відбувається повернення у точку р3.

Шостий крок виконується традиційно: із точки р3, що на да­ ний момент знаходиться у вершині стеку, дивимось у точку р4, а із неї - у точку р6 (мал. 158, є). При цьому виконується лівий поворот, тому точкар4 знову заноситься до стеку, однак при цьо­ му точка р5 уже виключена з перегляду.

Розглянемо малюнки 159, а і 159, б, що відповідають сьомо­ му і восьмому крокам. На цих кроках виконується лівий пово­ рот, тому точки р6 ір7 заносяться до стеку.

На дев'ятому та десятому кроках (мал. 159, в, г) відбуваєть­ ся вже відома ситуація, коли спостереження ведеться із точок р7 т а р 8 і при цьому виконується правий поворот. Тому надалі спочатку точка р8, а потім і точка р7 виключаються із перегля­ ду і відбувається повернення у стеку знову до точки р4.

Одинадцятий та дванадцятий кроки (мал. 159, д, є) спочат­ ку дають змогу знову повернути у стек точку р6, оскільки виконується лівий поворот від точки р6 до точки р9, а потім ви­ ключити точкур6 зі стеку, а точкур9 - з подальшого перегляду.

Тринадцятий крок виконання алгоритму Грехема знову повер­ тає до точкир4, яка знаходиться на даний момент у вершині стеку j (мал. 159, 160, а). При дослідженні повороту із точки р6 до точки р10 фіксується лівий поворот. Це саме відбувається і на чотирнад­ цятому кроці (мал. 160, б), томур6 ір10 дописуються у стек.

На останньому, п'ятнадцятому, кроці (мал. 160, в), на яко­ му у поле зору потрапляє стартова точка pv виконується лівий поворот від точки ри, тому точка з порядковим номером 11 останньою записується до стеку.

Таким чином, після завершення виконання алгоритму Грехе­ ма у стеку знаходиться послідовність номерів вершин, у резуль­ таті обходу яких буде побудовано опуклу оболонку (мал. 160, г).

Після такого детального розгляду покрокового виконання алгоритму Грехема на конкретному прикладі можна навести його опис у словесній формі.

1.Визначити початкову точку як таку, що має найменше значення по осі ординат. Якщо таких точок кілька, то серед них визначити точку з найменшим значенням по осі абсцис.

2.Упорядкувати решту точок (і - 2, 3, ..., п) за зростанням кута між відрізками, що з'єднують ці точки з початковою точ-

278

jcoio, визначеною у п. 1, та прямою, проведеною через початко­ ву точку, паралельно осі абсцис.

3.Занести до стеку визначену початкову точку р1.

4.Визначити для упорядкованої послідовності точок і = 2.

5.Якщо не досягнуто останньої точки упорядкованої послідовності, то для двох точок з порядковими номерами і та

і+ 1 визначити напрям повороту. У протилежному випадку перейти до п. 8.

6.Якщо поворот лівий, то занести нову точку з порядковим номером і до стеку, перейти до наступної не виключеної з пере­ гляду точки упорядкованої послідовності. Перейти до п. 5.

7.У протилежному випадку виключити з подальшого пере­ гляду точку і та зменшити значення вершини стеку на 1. Пе­ рейти до п. 4.

8.Розглянути останню трійку точок р„_і> Рп> Рі і Я К Щ° Д л я них виконується правило лівого повороту, то включити точку

рп до опуклої оболонки.

9. Завершити побудову опуклої оболонки, інформація про яку знаходиться у стеку.

Розглянемо питання практичної реалізації описаного алго­ ритму, а саме: яким чином визначати кути для подальшого

таке саме відношення збережеться і для значень синусів цих кутів.

Цю властивість можна використати для упорядкування зада­ них точок множини за зростанням кута. Синус кута між точка­

побудовою лежать у правій півплощині відносно осі ординат, то значення синусів шуканих кутів буде змінюватися від -1 до 1. Тобто, упорядковуючи точки за значенням наведеного виразу,

279

отримаємо зростаючу послідовність, а відповідно обхід упоряд­ кованих за цією ознакою точок множини виконуватиметься проти годинникової стрілки.

Перейдемо до тексту програми. Можна запропонувати та­ кий фрагмент її основної частини:

if I > n then flag := true end;

until flag;

4

280

Сортування заданих точок за лівими кутами їх відхилення від стартової точки може бути представлене такою процедурою:

procedure sort(L, R: word);

var і, j, c1, L R: word; c, w: real; begin

i:=L;j:=R;L_R:=(L + R)div2; w :=angl[L_R];

while (angl[i] < w) or ((anglfi] = w) and ((y[p[i]] > y[p[L_R]]) or(x[p[i]]<x[p[L_R]])))doi:=i + 1;

{Пошук у правій частині послідовності крайньої зверху точки,}

{що має менший кут відхилення.}

while (w < anglfj]) or ((angl[j]= w) and ((y[p[j]] < y[p[L_R]]) or(x[p[j]]>x[p[L_R]])))doj:=j-1;

if і <=jthen begin

i:=i + 1 ; j : = j - 1 ; end;

until і > j;

if j>Lthensort(L,j); if і < R then sort(i, R) end;

Оцінка ефективності алгоритму Грехема становить 0(п logn). Це обумовлюється тим, що упорядкування множини заданих точок у найкращому випадку, наприклад за допомогою методу швидкого сортування, виконується за 0(п logn) операцій, а включення точок до опуклої оболонки є лінійною операцією і становить О(п), що впливає на остаточний результат оцінки.

Щодо тестування алгоритму Грехема, то варто перевірити його на тих самих тестах, що і алгоритм побудови опуклої обо­ лонки методом додавання точок.

281