О.О.П / ооп / 4_кол / К курсовой / Методи побудови алгоритмів та їх аналіз / 62_201

Завдання

1.Розробити та реалізувати у вигляді програми алгоритм ви­ значення максимального паросполучення у заданому дво­ дольному графі.

2.Виконати завдання 1 для дводольного графа з кількістю вер­ шин N ^ 10, визначивши кількість необхідних для одержан­ ня результату ітерацій. Результат виконання програми ви­ вести у файл.

3.Виконати завдання 1 для графа з кількістю вершин N > 10, визначивши кількість необхідних для одержання результа­ ту ітерацій. Результат виконання програми вивести у файл.

4.Виконати порівняльний аналіз виконання завдань 2-3 щодо ефективності роботи алгоритму.

уЗапитання для самоконтролю

1.Які графи називають дводольними? Наведіть власні приклади.

2.Що розуміють під паросполученням у дводольному графі?

3.Яке паросполучення називається максимальним?

4.Чи завжди однозначно розв'язується задача побудови макси­ мального паросполучення? Обґрунтуйте свою відповідь на влас­ ному прикладі.

5.Сформулюйте класичну задачу, яка розв'язується за допомогою побудови максимального паросполучення на дводольних графах.

6.Яким чином можна застосувати алгоритм побудови максималь­ ного потоку до задачі про визначення максимального пароспо­ лучення у дводольних графах?

7.Продемонструйте роботу алгоритму побудови максимального потоку для визначення максимального паросполучення у дво­ дольному графі на власному прикладі.

8.Яким чином необхідно модифікувати алгоритм Форда-Фалкер- сона при його застосуванні до визначення максимального па­ росполучення у дводольному графі?

9.Запишіть процедури, що визначають максимальне паросполу­ чення у дводольному графі.

10.Як виглядатиме основний блок програми, визначає максималь­ не паросполучення у дводольному графі?

11.Якою є оцінка алгоритму побудови максимального паросполу­ чення у дводольному графі? Обґрунтуйте свою відповідь.

Наближений розв'язок задачі про комівояжера

У даному розділі розглянуто методи, які тим чи іншим чи­ ном визначають оптимальні розв'язки поставлених задач. Де­ які з них можна назвати жадібними, оскільки розв'язки задач визначаються за допомогою вибору наиоптимальнішого ходу на кожному кроці виконання алгоритму. Докладніше питання визначення коректності використання жадібних алгоритмів розглядатимемо пізніше в окремому розділі.

160

Досить часто на практиці використовують евристичні (з грец. heurisko - відшуковую) методи розв'язування поставлених задач. Суть евристичних методів - нехтування деякими харак­ теристиками алгоритму під час побудови його оптимального варіанта. Такий підхід дає можливість розробити алгоритм, що для більшості тестів дає очікуваний результат. Саме еврис­ тичні алгоритми подекуди розробляються учасниками олімпіадних змагань, коли їм не вдається досягнути авторського розв'язку запропонованої задачі. Якщо для такого алгоритму пройде більшість запропонованих тестів, то можна вважати, що він максимально наближений до авторського. Однак до евристичних алгоритмів вдаються і науковці. Це можливо під час роботи над складними досліджуваними задачами, для яких ще не знайдено оптимального алгоритму, наприклад потужни­ ми моделюючими програмами.

Однак далеко не для всіх задач можна побудувати оптималь­ ні розв'язки. Однією з таких задач є задача про комівояжера, визначена раніше як NP-повна задача. Нагадаємо її умову.

Комівояжер, тобто торговець, виїжджаючи з будь-якого з N міст, відстань між якими відома, повинен об'їхати всі решту (N-1 міст), побувавши в кожному з них лише по одному разу, і повернутися назад у місто, з якого було розпочато об'їзд. При цьому він повинен затратити якомога менше часу. Порядок об'їзду міст може бути довільним.

Найкращий, тобто точний, розв'язок цієї задачі визначаєть­ ся лише у разі повного перебору всіх можливих варіантів. Од­ нак, такий підхід до отримання розв'язку можливий лише за умови невеликих значень N. На сьогоднішній день не знайдено жодного методу, який би давав точний розв'язок задачі за час менший, ніж потрібен для повного перебору.

Як відомо, безвихідних ситуацій бути не може. У разі, коли немає можливості отримати точний розв'язок задачі, намагаю­ ться віднайти якомога близький до нього. Існують методи зна­ ходження наближених розв'язків задач. І саме до таких звер­ немося на прикладі задачі про комівояжера.

Нехай алгоритм А - це поки що не розроблений оптималь­ ний алгоритм розв'язання поставленої задачі. Однак за допомо­ гою алгоритму з повним перебором визначено точний розв'язок задачі rezA. Нехай також розроблено деякий наближений алго­ ритм В, який дає розв'язок цієї самої задачі rezB. Якщо йдеть­ ся про розв'язання задачі про комівояжера щодо знаходження найкоротшого шляху, то зрозуміло, що rezB= rezA+ є, де є - це похибка побудованого алгоритму. Оскільки ведеться пошук найкоротшого шляху, то точна відповідь завжди менша за будь-яку іншу наближену. Тому чим менше значення є, тим кращий знайдений наближений розв'язок задачі.

Алгоритм Ейлера

Алгоритм Ейлера, що реалізовує наближений розв'язок задачі про комівояжера, базується на вже розглянутих вище алгоритмах.

Для наочності пояснення розглянемо приклад повного графа (мал. 101, а).

Мал. 101

На початку слід зауважити, що алгоритм Ейлера, який будує гамільтонів цикл мінімальної довжини для повного графа, пра­ цює лише за умови, що для кожної трійки вершин і, /, k вико­ нується нерівність трикутника: dij<dik + dkj. Ця умова тлума­ читься дуже просто: відстань між двома містами і та ] завжди менша, ніж відстань між ними через третє місто k (мал. 101, б).

Наступна послідовність міркувань є такою. По-перше, граф, що описує схему міст, якими їздить комівояжер, є повним. Подруге, комівояжер повинен відвідати кожне місто, побувавши в ньому лише один раз. Це означає, що його шлях є гамільтоновим циклом. Оскільки у повному графі для комівояжера є {N - 1) варіант відвідування міст, то це свідчить про те, що і гамільтонових циклів є стільки само. Отже, задача, врешті-решт, зводить­ ся до побудови найкоротшого гамільтонового циклу в повному графі. Як отримати найкоротший гамільтонів цикл?

Нагадаємо ще один алгоритм, результатом роботи якого є підграф, що містить усі вершини заданого графа. Це алгоритм Прима і Краскала, який дає змогу побудувати остовне дерево мінімальної довжини. Таке остовне дерево буде складатися з ребер заданого графа, сумарна довжина яких є мінімальною, буде містити всі вершини заданого графа, однак не буде цик­ лом, а тим більше гамільтоновим (мал. 101, в). Яким же чином перейти від остовного дерева до гамільтонового циклу?

Спочатку проаналізуємо, який підграф одержано у резуль­ таті побудови остовного дерева (мал. 101, в). По-перше, деякі вершини у ньому можуть належати різним ребрам, що і видно на малюнку. По-друге, навряд чи можна буде обійти всі вер­ шини графа, опинившись у результаті в стартовій вершині. Однак слід пригадати граф, який дає таку можливість, - це ейлеровий граф. Однією з умов його існування є така: степені

162

усіх вершин повинні мати парні значення. Для графа, яким є побудоване мінімальне остовне дерево, ця умова порушена. Тож штучно утворимо ейлеровий граф із остовного дерева, до­ давши до нього ще такі самі ребра. Наприклад, до ребра (3,5) додамо ребро (5,3) і т. д. (мал. 102, а). Довести, що утворений граф є ейлеровим, дуже просто: будь-яке число, а у нашому ви­ падку це степінь вершини, після множення на 2 стає парним.

б)

Мал. 102

Тепер уже можна у графі, яким стало перетворене мінімаль­ не остовне дерево, визначити ейлеровий цикл. Почнемо, на­ приклад, із вершини 1. Застосувавши алгоритм визначення ейлерового циклу, отримаємо таку послідовність ребер: (1,4), (4,1), (1,5), (5,2), (2,5), (5,3), (3,5), (5,1). Як бачимо, до ейлеро­ вого циклу ввійшли всі ребра графа, зображеного на малюнку 102, а, - реальні і фіктивні і двічі всі вершини. На малюнку 102, б позначено послідовність входження ребер перетворено­ го остовного дерева до ейлерового циклу. Зрозуміло, що такий цикл не є гамільтоновим. Спробуємо одержати його з ейлеро­ вого циклу.

Запишемо послідовно всі вершини, які необхідно відвідати, обходячи граф ейлеровим циклом: 1 4 4 1 1 5 5 2 2 5 5 3 3 5 5 1 . Як бачимо, у цій послідовності одні й ті самі вершини входять більш як один раз, що для гамільтонового циклу неприпусти­ мо. Вчинимо примітивно просто: виключимо з послідовності ті вершини, які вже в ній зустрічалися, але при цьому збережемо порядок цих вершин: 1 4 4 і і 5 5 2 й 6 6 3 3 6 £ 1 . Як видно, за­ лишено повторно тільки останню вершину 1 як ту, що завер­ шує цикл обходу графа. У результаті отримано таку послідов­ ність: 14 5 2 3 1.

В останній послідовності вершини графа підказують поря­ док його обходу, при якому вони будуть відвідані лише по одно­ му разу. А це означає, що визначено гамільтонів цикл. Відно­ вимо послідовність ребер, якими треба при цьому йти: (1,4), (4,5), (5,2), (2,3), (3,1). На малюнку 103 отриманий цикл зобра­ жено півжирними лініями. З'явилися нові ребра, які не брали участі в ейлеровому циклі: (1,3), (2,3), (4,5). Однак це не супе­ речить умові поставленої задачі, оскільки розглядається пов­ ний граф і зазначені ребра у ньому реально існують.

•

Мал. 103

-

Отже, те, що на малюнку 103 зображено гамільтонів цикл, побудований на заданому повному графі (мал. 101, а), сумнівів немає. А от щодо його мінімальної довжини - питання зали­ шається відкритим. Досить багато кроків у послідовності дій зроблено штучно. Запишемо ці дії у вигляді алгоритму і одно­ часно проаналізуємо, якою може бути довжина побудованого гамільтонового циклу.

1. Будуємо остовне дерево мінімальної довжини, сума ребер якого £„,,„.

Коментар. Якби цей граф визначав і гамільтонів цикл, то задача була б одразу розв'язана. Однак остовне дерево ніколи не є циклом! На малюнку 101, в довжина мінімального остовно-

го дерева Lmln = 18.

2. Подвоюємо всі ребра.

Коментар. Довжина нового графа стає вдвічі більшою від довжини мінімального остовного дерева 2Lnin. На малюнку

102,aL = 2Lmin=36.

3. Будуємо ейлеровий цикл, у який входять усі ребра. Коментар. При цьому довжина його становить також 2Lmln.

На малюнку 102,6 Leuler = 2Lmin = 36.

4. Виключаємо вершини, що повторюються при обході ейлерового циклу, і отримуємо гамільтонів цикл.

Коментар. Повернемося до послідовності вершин в ейлеровому циклі: 1444 - 4 - 5&236633661 . Виключення ребер (4,1), (1,5), що відповідають першій частині виключених вершин, спричинило введення нового ребра (4,5). Як при цьому зміни­ лася довжина цієї частини циклу? За умови існування нерівності трикутника між будь-якими трьома вершинами за­ даного графа виконується умова: L4 5 < L4l + L1 5. Таким чи­ ном, у цій частині побудованого гамільтонового циклу його довжина, порівняно з ейлеровим циклом, зменшилася. Ана­ логічна ситуація повториться і для двох інших виключених груп ребер: L2 з < 1-2,5 + ^5 3' -^з і к ^з,5 + -^5 і- Додавши всі ці нерівності, отримаємо:

•^4,5 + "^2,3 + -^3,1 < ^4,1 + -^1,5 + "^2,5 + -^5,3 + ^3,5 + Lb,V

164

Це, загалом, означає, що заміна ребер тільки покращила підсумковий результат. На малюнку 103 Lrez = 29.

5. Завершення алгоритму.

Коментар. У результаті для повного графа, що описує задачу про комівояжера, побудовано гамільтонів цикл, довжину яко­ го можна оцінити так: Lrez < 2Lmin, тобто довжина гамільтонового циклу не перевищує подвоєну довжину мінімального остовного дерева.

Визначена оцінка результату зверху. А знизу цією оцінкою може бути лише довжина невідомого нам мінімального гамільтонового циклу. У найкращих випадках можна буде саме його й отримати, застосувавши алгоритм Ейлера, але у більшості задач про комівояжера буде отримано лише приблизний розв'язок, більший за мінімальний, але точно менший за по­ двоєну довжину мінімального остовного дерева.

повному графі. Як бачимо, гамільтонів цикл найменшої дов­ жини зображений на малюнку 104, в і його довжина стано­ вить 29. У результаті виконання алгоритму Ейлера отримано такий самий результат. Але це та сама ідеальна випадковість, про яку йшлося вище. Однак найчастіше при великій кількості міст можна отримати лише наближений розв'язок конкретної задачі про комівояжера, хоча у таких випадках і це досить не­ поганий результат.

Реалізація основної частини описаного алгоритму мовою програмування може бути запропонована так:

165

kruskal; {Визначення остовного дерева мінімальної довжини;} і := 1; {результат роботи процедури kruskal міститься парами вершин у масиві krus.) while І < к do {Занесення ребер, що увійшли до остовного дерева у масив h]

begin

h[krus[i], krus[i + 1]] := 1; h[krus[i + 1], krus[i]] := 1 ;{з урахуванням їх подвоєння.}

L := L + d[hamil[i], hamil[i + 1 ]] {Визначення довжини гамільтонового циклу.} end;

writeln(fout);

writeln(f out, 'Minimum way: ', L);

Слід зауважити, що процедури kruskal та euler, як уже відо­ мі, для використання у даному алгоритмі потребують деяких модифікацій.

Оцінка ефективності роботи алгоритму є досить непогана при можливому досить непоганому отриманому результаті. Адже алгоритм складається із послідовного використання вже відо­ мих алгоритмів. Нагадаємо їх оцінки: побудова мінімального остовного дерева - 0(п + т); подвоєння ребер остовного дерева - 0(п), оскільки ребер в остовному дереві (п - 1); побудова ейлеро­ вого циклу - 0{т); утворення гамільтонового циклу з ейлерово­ го - 0(2п), оскільки до нього можуть увійти всі вершини по два рази. Склавши всі ці оцінки, отримаємо 0(4п + 2т)« 0(п + т).

Для тестування алгоритму Ейлера наближеного розв'язан­ ня задачі про комівояжера раціональнішим буде використання тих тестів, на яких перевірялася коректність роботи повнопереборного алгоритму.

Метод гілок і границь

Алгоритм, який реалізується методом гілок і границь, можна характеризувати як евристичний. У чому полягає евристика, по­ бачимо, розглядаючи безпосередньо цей алгоритм. Але наперед можна сказати, що, застосовуючи певні міркування, логічні вис­ новки, можна дещо скоротити кількість повних переборів під

166

час розв'язування NP-повних задач. Саме це і є основою евристи­ ки: здогадки, міркування, висновки і, як результат цього, деякі удосконалення знаходження розв'язку поставленої задачі.

Розглянемо таблицю суміжності Ct • для прикладу задачі про комівояжера із попереднього алгоритму (мал. 105, а). Граф, що описує задачу про комівояжера, є повним неорієнтованим і зва­ женим. Саме тому таблиця суміжності є симетричною відносно головної діагоналі. Оскільки елементами таблиці є значення вартості відповідного ребра графа, а вони можуть бути і нульо­ вими, тому позначимо Си символами «-», що означатиме відсутність ребра від вершини і до вершини і. Надалі відсут­ ність ребер у графі позначатимемо так само.

Ми знаємо точну відповідь на поставлену задачу. А саме шлях комівояжера у даному випадку оцінюється так: 71>3 + 53 2 + 32 5 + + 85 4 + 64д = 29. На малюнку 105, а елементи таблиці, що утво­ рюють шлях комівояжера, виділено темним кольором, а значен­ ня - півжирним шрифтом. Порівнявши кожне із цих значень у своєму рядку і стовпці з іншими значеннями, можна побачити, що вони не завжди є найменшими, але не є і найбільшими.

Як можна тлумачити інформацію, що міститься у першому рядку таблиці? Нехай це буде вартість виїзду з міста під номе­ ром 1. Тоді, відповідно, інформація у першому стовпці - це вартість в'їзду до міста під номером 1. Оскільки вартість - це одиниця відносна, тобто її можна для всіх на один і той самий коефіцієнт зменшити або збільшити, то вчинимо так само й з елементами нашої таблиці.

Розглянемо перший стовпець. Якщо при в'їзді до міста з но­ мером 1 відповідно до встановленої платні, нехай це буде мито на ввезення певної кількості товару, комівояжер, ввозячи товар з міста 2, платить 8 одиниць, з міста 3 - 7 і т. д., то можна цю платню всім в'їжджаючим до даного міста умовно зменшити на однакове відповідне значення. При цьому відносність платні при в'їзді до міста і не зміниться. Залишається тільки за­ пам'ятати значення, на яке зменшено платню за в'їзд у кожне

167

місто. Назвемо це значення константою приведення і позначимо для кожного рядка у додатковому стовпці (мал. 105, а). Просу - мувавши всі п'ять констант приведення, отримаємо їх суму, яка для рядків таблиці становить 21. Результат приведення рядків таблиці показано на малюнку 105, б. Позиції шляху комівояже­ ра на ній також виділено темним кольором. Як бачимо, якщо просумувати виділені клітинки на малюнку 105, б, то саме на 21 зменшилась вартість об'їзду комівояжером усіх міст.

Тепер виконаємо ті самі дії зі стовпцями таблиці, зображе­ ної на малюнку 105, б. Константи приведення її по кожному стовпцю визначені у додатковому нижньому рядку. Сума при­ ведення по стовпцях становить 2, а результат приведення представлений на малюнку 105, в.

Таким чином, загальна сума приведення таблиці як по ряд­ ках, так і по стовпцях становить 23. Саме на таке число змен­ шено реальну вартість об'їзду всіх 29 міст завдяки виконаним діям. Можна ще інакше сформулювати цю думку: вартість об'їзду, яка буде результатом розв'язку задачі зі значеннями із таблиці (мал. 105, в), необхідно буде збільшити на 23, щоб отримати реальний результат.

Але наша задача полягає у тому, щоб, користуючись інфор­ мацією із таблиці (мал. 105, в), отримати правильний розв'я­ зок задачі про комівояжера.

Продовжимо подальші евристичні міркування. Якщо не бу­ ло б відомо точного розв'язку поставленої задачі, то, аналізую­ чи таблицю (мал. 105, в), хотілося б знайти мінімальний гамільтонів цикл, а таким, зрозуміло, може бути лише той, що скла­ дається з нульових значень. Тобто його оцінка становитиме 0. Враховуючи сумарне значення приведення початкової таблиці, його реальна оцінка становитиме 23. Отже, можна стверджува­ ти, що отримати розв'язок задачі про комівояжера з результа­ том, меншим за 23, неможливо. Це і є нижньою границею оцін­ ки майбутнього розв'язку задачі, і його отримано у результаті приведення заданої таблиці суміжності по рядках і стовпцях.

Наступні кроки алгоритму будуть пов'язані з побудовою де­ рева розв'язків, з одночасним відсіканням тих його гілок, що ведуть до неоптимальних результатів. Тепер стає зрозумілим, чому метод носить назву «гілок і границь».

До визначення нижньої границі задачі ми підійшли з жа­ дібними міркуваннями, розглянувши лише варіант існування розв'язку тільки на нульових значеннях таблиці (мал. 105, в). Однак це не завжди може бути саме так, і наведений приклад у цьому переконує. Встановлена границя виконує роль нижнього бар'єра, і можна переконатися лише у тому - результат розв'яз­ ку задачі буде таким або більшим за це значення.

168

Звичайно, дуже хотілося б побудувати гамільтонів шлях, використовуючи тільки ребра з нульовими значеннями, але та­ ка жадібність може відвести вбік від правильного результату. Тому спробуємо зробити один крок уперед і оцінити шанси у разі, коли буде обрано інший варіант формування гамільтонового циклу.

Розглянемо нульовий елемент таблиці (мал. 105, в), який знаходиться у позиції [1,4]. Якщо для формування результую­ чого циклу вибрати ребро (1,4), то нижня оцінка вартості тако­ го вибору залишиться незмінною, тобто 23. Це означатиме, що здійснюється виїзд з міста 1 і в'їзд у місто 4 з платнею 0. Роз­ глянемо рядок з номером 1, де міститься інформація, в які міста і за яку платню можна в'їхати з міста 1. Виявляється, що можна з міста 1 в'їхати і в інше місто з платнею, близькою до цієї. Таким містом у рядку 1 є місто з номером 5. Вартість пе­ реїзду туди так само дорівнює 0. Поки що заміна міста в'їзду 4 на місто 5 не змінила нижньої межі загальної вартості 23, хоча

ізмінює множину ребер, які формують результуючий цикл.

Зтакими самими міркуваннями підійдемо і до питання в'їзду до міста 4, розглянувши стовпець з номером 4. З нього видно, що у місто 4 можна в'їхати за нульову платню тільки з міста 1, а з тих міст, що залишилися, найдешевший в'їзд вар­ тістю 4 можливий лише з міста 5. Тому найдешевша альтерна­ тива для в'їзду у місто 4 місту 1 буде місто 5 і коштуватиме во­ на 4. Таким чином, включення ребра (1,4) у шуканий цикл коштуватиме 0, а відмова від його включення - щонайменше 4. Величину 4 назвемо вартістю ризику для ребра (1,4). Оскільки треба буде розглядати всі можливі варіанти формування шука­ ного циклу, то при розгляді варіанта з ребром (1,4) нижня гра­ ниця платні 23 не збільшуватиметься, а у варіанті виключення цього ребра із розгляду збільшиться на 4 і становитиме 27.

Визначимо вартості ризику для всіх Сл• = 0 таблиці (мал. 105, в). Насправді це зробити дуже просто: для кожного елемента таб­ лиці зі значенням 0 необхідно знайти суму мінімумів у рядку і та стовпці j, не враховуючи сам цей елемент (мал. 106, а). Найбільший ризик 4 мають ребра (1,4) і (4,1). Виберемо будьяке з них, наприклад ребро (1,4).

Існує два варіанти подальших дій: включити це ребро до шу­ каного циклу, при цьому фактично виключивши його із по­ дальшого пошуку, або не включати і намагатися знайти якийсь інший шлях побудови циклу. Найменша вартість першого варіанта залишається 23, а другого - на 4 більша за рахунок вартості ризику, при якій не враховується це ребро як складо­ ва результуючого гамільтонового циклу. Окрім цього, у пер­ шому варіанті надалі розглядатиметься таблиця (мал. 105, а) без 1-го рядка і 4-го стовпця, оскільки виїзд з міста 1 і в'їзд у

169