5. Приклади математичних моделей задач до

Побудова математичної моделі більшості задач ДО полягає в описі множини допустимих розв'язків (множини альтернатив Х) і критеріїв оптимальності (одна чи декілька кількісних ознак, на підставі яких провадять порівняльну оцінку допустимих розв’язків і вибір найоптимальнішого з них). Вважаємо, що кожен наслідок у є Y отримує числові оцінки, отож J=f, Y=R.

Приклад 1.1. Нехай є чотири види продуктів П_i- (і = 1..4), з яких необхідно скласти пайок, що задовольнятиме такі вимоги:

1. пайок налічуватиме усі види продуктів;

2. вміст білків, жирів і вуглеводів у пайку становитиме не менше, ніж b₁, b₂ і b₃ одиниць, відповідно;

3. вартість пайка не повинна перевищувати с грошових одиниць;

4. вага пайка не перевищуватиме заданої величини р;

5. пайок матиме мінімальний об’єм;

6. пайок матиме максимальну калорійність.

Вважатимемо, що одиниця продукту П_i- (і = 1,4) містить а_1j одиниць білків, а_2j одиниць жирів, а_3j;- одиниць вуглеводів; коштує с_j грошових одиниць; має вагу р_j, калорійність q_j і об’єм V_j.

Побудуємо математичну модель задачі формування харчового набору. Нехай х_j - кількість одиниць j-го продукту (j = 1,4) у пайку, тоді вектор-стовпець х=(Х₁, Х₂, Х₃, Х₄)^T цілковито визначає вміст пайка. Вимоги 1 - 4 накладають обмеження на х_j, а вимоги 5 і 6 задають ознаки-критерії (об’єм і калорійність).

Опис множини допустимих розв'язків (позначатимемо G) задається системою нерівностей, яка задовольняє вимоги 1 - 4:

(1.1)

Отже, допустимим розв'язком є довільний чотиривимірний вектор-стовпець , що належить множині G. Запишемо критерії оптимальності:

Вектор , щодо якого виконуються умови (1.1) і (1.2), називатимемо оптимальним розв'язком. Для окремих задач оптимальних розв’язків може бути декілька (можливо, безліч).

Задача формування харчового набору є як задачею теорії ухвалення рішень, так і задачею ДО (тобто є багатокритеріальною задачею оптимізації).

Математичну модель задачі формування харчового пайка формулює дослідник операцій. На наступному етапі операційних досліджень за допомогою ЛМП він визначає певний набір “добрих” рішень. Остаточне рішення (керівне) затверджує ОУР.

Будь-яке керівне рішення завжди ухвалюють відповідно до інформаційного стану ОУР (змістовних представлень щодо можливих і доцільних дій в розглянутих умовах). Перевірка адекват­ності змістовних представлень ОУР виходить за рамки ДО.

Приклад 1.2. Повернемося до задачі щодо складання харчового пайка, розглянутої у прикладі 1.1. Припустимо, що в ОУР змінився інформаційний стан. Відповідно до нових змістовних представлень ОУР необхідно скласти пайок, що задовольнятиме такі вимоги:

1. пайок налічуватиме усі види продуктів;

2. вміст білків, жирів і вуглеводів у пайку становитиме не менше, ніж b₁, b₂ і b₃ одиниць, відповідно;

3. вартість пайка буде мінімальною;

4. вага пайка не перевищуватиме заданої величини р;

5. об’єм пайка не перевищуватиме заданої величини V;

6. калорійність пайка буде не меншою за задану величину д.

Скористаємося позначеннями прикладу 1.1. Множину G задамо системою нерівностей:

(1.3)

Запишемо критерій оптимальності:

(1.4)

Приклад 1.3. Задача про використання ресурсів. Нехай деяка фірма виготовляє п виробів В_j (j = 1, п ) і використовує для цього m ресурсів Р_і (і = 1, m) у вигляді сировини, енергії, робочої сили, обладнання тощо. Можливий об’єм споживання і-го ресурсу обмежений невід’ємною величиною b_і, а його витрати для виготовлення одиниці виробу В_j- (і = 1, п ) дорівнюють а_іj-, де і = 1, m . У свою чергу, одиниця виробу В_j (j = 1, п ) визначається величиною с_j, яку називають питомим прибутком (виражається в грошових одиницях). Необхідно визначити такі об’єми х_j (і = 1, п ) виготовлення виробів В_j, які забезпечать фірмі максимальний сумарний дохід від їхньої реалізації. Математична модель цієї задачі набуде вигляду: