3. Задачі ухвалення рішень

1. Постановка задачі ухвалення рішення

Формалізуємо задачу ухвалення рішення (ЗУР), яка полягає у виборі найоптимальнішого варіанта дії з певної множини можли­вих варіантів. Така формалізація даватиме змогу класифікувати ЗУР і виокремити ті з них, які слугують об’ єктом вивчення дослі­дження операцій.

Нехай маємо множину можливих варіантів дій Х (скінченну або нескінченну). Вибір деякого з варіантів х_ієX передбачає певний наслідок (результат, вихід) у_іє Y, де Y - множина можливих наслідків (тобто між варіантом дії х_і та наслідком у_і існує причинно-наслідковий зв’язок). Окрім того, вважають, що існує певний механізм оцінки якості такого вибору, який відображає систему переваг ОУР у затвердженні рішень. Зазвичай, оцінюють якість наслідку. На рис. 1.1 проілюстровані головні елементи ЗУР.

Варіанти дій прийнято називати альтернативами. Альтернативи - невід’ємна частина проблеми ухвалення рішень: якщо немає з чого вибирати, то немає і вибору. Отже, для постановки задачі ухвалення рішень необхідно мати хоча б дві альтернативи. З них необхідно обрати найкращу (зазвичай, таку, яка забезпечить найвищу якість наслідку).

Множина Множина Система переваг ОУР

альтернатив можливих наслідків

Рис. 1.1. Задача ухвалення рішення

Перейдемо до аналізу сформульованої задачі ухвалення рі­шень. Перший важливий момент стосується характеру зв'язку між альтернативами та наслідками.

У багатьох випадках такий зв’язок є детермінованим, тобто існує однозначне відображення Х У, або реалізується функція

^ф

у = (х), х є Х, у є У (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Детермінований зв’язок

Цей же зв’язок може бути випадковим, коли вибір х_і визначає деяку густину розподілу ймовірностей на множині Y (іноді кажуть, що з кожним х_і зв’язана деяка лотерея). У цьому випадку вибір х_і уже не гарантує настання конкретного результату а саму задачу називають задачею ухвалення рішень в умовах ризику (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Випадковий зв’язок

Якщо кожній стрілці орграфа на рис. 1.3 можна приписати вагу - ймовірність Р_ij настання наслідку у- за вибору альтернативи х_i-, то цей орграф ілюструватиме тип випадкового зв’язку між альтернативами та наслідками у задачі ухвалення рішень в умовах ризи­ку. Очевидно, що .

На рис. 1.3 проілюстровано і третій вид зв’язку альтернатив з наслідками, який реалізується у задачах ухвалення рішень в умовах цілковитої невизначеності. Щодо цього передбачають, що немає інформації про ймовірності зв’язків альтернатив з наслідками (стрілки на орграфі не мають ваг).

Невизначеність при виборі та реалізації зв’язку альтернатив з наслідками може мати й інший, дещо складніший характер (див. “дилему в’язня” у теорії ігор тощо), проте ми обмежимося зазначеними трьома випадками.

Другий важливий момент у загальній ЗУР полягає у вивченні (заданні) системи переваг особи, що ухвалює рішення (ОУР). Зауважимо, що другий момент ніяк не взаємозв’язаний з першим, і різні способи задання системи переваг можуть бути реалізовані для кожного виду зв’язку альтернатив з наслідками.

У деякому розумінні найпростіша ситуація виникає, коли кожен наслідок у можна оцінити конкретним дійсним числом відповідно до деякого відображення f:YR.

У цьому випадку порівняння наслідків зводиться до порівняння відповідних щодо них чисел, наприклад, результат у, вважається кращим, ніж у_i- (позначення у_і > у_j), якщо f(у_i) >f(у_j) (задача максимізації). Наслідки еквівалентні (позначення у_i ~ у_j) якщо f(y_i)=f(y_j).

Таку функцію f називають цільовою функцією, критеріальною функцією, функцією критерію оптимальності або ж критерієм оптимальності. Остання назва не цілком коректна, оскільки критерій оптимальності - це деяке правило, що дає змогу порівнювати наслідки між собою та відрізняти “оптимальні’ наслідки від “неоптимальних”.

У нашому випадку це правило стосується задання цільової функції. Як відомо, однозначне відображення довільної множини на множину дійсних чисел називають функціоналом. Тому цільові функції ми часто називатимемо цільовими функціоналами.

Якщо припустити, що зв’язок між множиною альтернатив Х і множиною наслідків Y є детермінованим (у=(х), хєХ, уєУ), то функція f, задана на множині Y, трансформується у деяку функцію J, задану на множині Х, яка є суперпозицією j і f

J:X R,J=f j.

У цьому випадку задача вибору оптимального результату зводиться до задачі вибору оптимальної альтернативи на множині X і реалізується безпосередньо методами дослідження операцій.

Дещо реалістичнішою є ситуація, коли на відміну від попереднього випадку “якість” чи “корисність” результату у оцінюється не одним числом f(у), а декількома, тобто існує декілька показників якості рішення (критеріїв), які описуються функціями

f_k:Y®R,k=1,2,…,m

причому кожну з часткових цільових функцій f_к, необхідно максимізувати.

Зрозуміло, що у випадку багатокритеріальних оцінок наслідків виникають значно складніші математичні моделі ситуацій вибору, ніж в однокритеріальному випадку. Критерії, здебільшого, суперечливі і, зазвичай, досягають максимумів у різних точках у є Y. Отже, виникають не тільки алгоритмічні труднощі отримання рішень, але й власне концептуальні труднощі. Що розуміти під оптимальним рішенням у цьому випадку?

Концептуальні труднощі розв’язують у рамках теорії ухвалення рішень. У наступному пункті розглянемо питання взаємозв’язку дослідження операцій з теорією ухвалення рішень.