Гіпербола.

Гіпербола – це геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала і дорівнює 2а.

За означенням

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

, піднесемо обидві частини рівності до квадрату

Позначимо , тоді .

Поділимо обидві частини цієї рівності на , тоді

- канонічне рівняння гіперболи.

2а – дійсна вісь, 2в – уявна вісь, 2с – фокусна вісь, - вершини гіперболи

зв’язок між фокусною відстанню та осями гіперболи ().

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до відстані між вершинами:

Директрисами гіперболи називаються прямі, що задаються рівнянням: .

Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями:

- рівняння гіперболи із зміщеним центром, - центр.

Якщо , то

Гіперболи та називаються спряженими.

Парабола.

Парабола – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки, та фіксованої прямої(не проходить через).

Точка називається фокусом, пряма називається директрисою.

Розмістимо систему координат так, щоб точка знаходилась на осі Ох, директриса була перпендикулярною до осі Ох, а точка ділила відстань між фокусом і директрисою пополам: .

Позначимо , тоді тому ,

Директриса задається рівнянням:

За означенням параболи

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

- канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох.

- канонічне рівняння параболи, вершина якої знаходиться в точці

Полярна система координат.

Полярна система координат складається з точки О – полюса і променя ОР – полярної осі.

- масштабна одиниця;

- полярний кут.

Положення точки на площині визначається кутом і довжиною відрізка ОМ, який позначають .

Полярними координатами називається упорядкована пара чисел , - полярний радіус.

Зв’язок між декартовими та полярними координатами.

Помістимо полюс в початок координат, полярну вісь направимо вздовж осі Ох.

Координати точки М в декартових координатах , а в полярних , ().

- прямокутний, :

 додамо почленно ці рівності

Контрольні запитання.

1. Що називається лінією другого порядку?

2. Що називається колом? Запишіть його рівняння.

3. Що називається еліпсом? Виведіть його рівняння.

4. Що називається ексцентриситетом, директрисами еліпса?

5. Що називається гіперболою? Виведіть її рівняння.

6. Що називається ексцентриситетом, директрисами, асимптотами гіперболи?

7. Що називається параболою? Виведіть її рівняння.

8. Яке рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох, Оу?

9. Що називається полярними координатами?

10. Записати формули зв’язку між полярними та декартовими координатами.

Границі.

План.

1. Послідовність. Границя послідовності. Границя функції.

2. Властивості границь.

3. Правила обчислення границь.

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

5. Важливі границі.

6. Неперервність функції.

Послідовність. Границя послідовності.

Якщо кожному натуральному числу за певним законом поставити у відповідність число, то множина останніх утворює послідовність:

Послідовність – це числова функція, задана на множині натуральних чисел:.

Числа, які в неї входять називаються членами послідовності.

Число А називається границею числової послідовності , якщо для будь – якого існує число таке, що для всіх членів послідовності з номерами , , виконується нерівність: .

Пишуть:

Якщо послідовність має границю А, то кажуть що сходиться до числа А.