Взаємне розміщення прямих на площині.

Нехай прямі і задані відповідними рівняннями з кутовим коефіцієнтом:





1. якщо , то прямі перетинаються в одній точці;

2. якщо , то прямі мають однаковий кут нахилу до осі Ох, а значить паралельні.

Доведення: - кут між прямими і , , .

АВС: - зовнішній кут, тоді ,

Отже - тангенс кута між двома прямими.

Якщо прямі і паралельні, то , 

 .

Якщо прямі і перпендикулярні, то  - не існує, тоді 

Нормальне рівняння прямої.

Нехай - це пряма, - перпендикуляр( відстань), проведений від початку координат до прямої, - кут нахилу цього перпендикуляра до осі Ох, - довільна точка прямої.

Позначимо , , , , .

АОМ:

ВОМ:

Тоді

- нормальне рівняння прямої.

(нормаль – перпендикуляр).

Знайдемо зв’язок між загальним рівнянням прямої та нормальним рівнянням прямої:



Піднесемо до квадрату перші два рівняння і додамо почленно

- нормуючий множник

Підставимо в рівність , отримаємо - нормальне рівняння прямої.

З рівності можна зробити слідуючи висновки:

1) і мають різні знаки ( бо , - відстань);

2) в нормальному рівнянні прямої знак (знак перед квадратним коренем) беремо протилежний до С.

Щоб знайти відстань від точки до прямої необхідно:

• записати нормальне рівняння прямої;

• в це рівняння підставити координати точки, відстань від якої ми знаходимо;

• взяти одержану відповідь по модулю.

Рівняння площини.

Загальне рівняння площини.

Нехай задана площина , - вектор, перпендикулярний (нормальний) до площини , - довільна точка площини, - фіксована точка площини.

Так як , то 

- рівняння площини, що має нормальний вектор.

позначимо , тоді

- рівняння площини в загальному вигляді.

Дослідження:

1. , - рівняння площини, паралельної осі Ох;

2. , - рівняння площини, паралельної осі Оу;

3. , - рівняння площини, паралельної осі Оz;

4. , - рівняння площини, що проходить через початок координат;

5. , - рівняння площини, паралельної площині ХОУ;

6. , - рівняння площини, паралельно площині ХОZ;

7. , - рівняння площини, паралельно площині УОZ;

Рівняння площини у відрізках на осях.

позначимо , тоді

- рівняння площини у відрізках на осях.

Взаємне розміщення двох площин.

Нехай дві площини і задані загальними рівняннями

Дві площини паралельні, якщо

Дві площини перпендикулярні, якщо скалярний добуток їх нормальних векторів , дорівнює нулю: .