Рівняння площини, що проходить через три точки.

Точки , , - фіксовані точки площини, - довільна точка площини.

З цих чотирьох точок утворимо три вектори

Ці вектори лежать в одній площині, якщо їх змішаний добуток дорівнює нулю.

- рівняння площини, що проходить через три точки.

Кут між двома площинами.

Кут між двома площинами знаходиться як кут між нормальними векторами цих площин

Відстань від точки до площини обчислюється за формулою

Рівняння прямої у просторі.

1. Загальне рівняння прямої у просторі можна задати як перетин двох площин

(1)

Напрямний вектор прямої, заданої системою (1) обчислюється за формулою

2. Канонічне рівняння прямої.

Нехай - довільна точка прямої, - напрямний вектор прямої, координати якого обчислюються з системи (1)

- канонічне рівняння

3 Параметричні рівняння прямої.

 - параметричні рівняння, де - задана точка, що належить прямій, - напрямний вектор прямої.

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки , :

Кут між прямою і площиною.

- кут між прямою і площиною , - кут між нормальним вектором площини і напрямним вектором прямої

Кут між прямою і площиною знаходять за формулою

Умова паралельності прямої і площини :

Умова перпендикулярності прямої і площини :

Рівняння площини, яка проходить через задану пряму, перпендикулярно до заданої площини.

Нехай пряма задана рівнянням , а площина задана рівнянням причому , тоді вектори , та (; ; ) компланарні, тобто

або - шукане рівняння площини.

Рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі.

Дві паралельні прямі і задані відповідно рівняннями

- довільна точка площини, тоді вектори

, , - компланарні, значить

- рівняння шуканої площини.

Рівняння площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються.

Дві прямі, що перетинаються і задані відповідно рівняннями

- довільна точка площини, тоді вектори

, , - компланарні, значить

- рівняння шуканої площини.

Рівняння площини, яка проходить через задану пряму і задану точку.

Дана пряма задана рівнянням і точка () .

- довільна точка площини, тоді вектори

, , - компланарні, значить

- рівняння шуканої площини.

Контрольні запитання.

1. Виведіть відповідні рівняння прямої на площині.

2. Які умови паралельності і перпендикулярності прямих.

3. Виведіть нормальне рівняння прямої.

4. Запишіть загальне рівняння площини і рівняння площини у відрізках.

5. Які умови паралельності та перпендикулярності площин?

6. Запишіть рівняння площини, що проходить через три точки.

7. Запишіть види рівнянь у просторі.

8. Запишіть рівняння площини, яка проходить через задану пряму, перпендикулярно до заданої площини.

9. Запишіть рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі.

10. Запишіть рівняння площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються.

11. Запишіть рівняння площини, яка проходить через задану пряму і задану точку.

Криві другого порядку.

План.

1. Вступ.

2. Еліпс.

3. Гіпербола.

4. Парабола.

5. Полярна система координат.

Вступ.

Кривою другого порядку називається множина М точок площини, координати яких задовольняють рівняння другого степеня , де - дійсні числа.

До кривих другого порядку відносяться: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Коло – це геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від даної точки, яка називається центром кола.

, точка - центр кола.

Еліпс.

Еліпс – це геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала і дорівнює 2а.

точка- належить еліпсу, і - фокуси, і - фокусні радіуси точки М.

За означенням

Позначимо , тоді .

Поділимо обидві частини цієї рівності на , тоді

- канонічне рівняння еліпса.

2а – велика вісь, 2в – мала вісь, 2с – фокусна вісь, - вершини еліпса

зв’язок між фокусною відстанню та осями еліпса ().

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані до більшої осі: . Ексцентриситет вказує на форму еліпса.

Директрисами еліпса називаються прямі, що задаються рівнянням: .

- рівняння еліпса із зміщеним центром, - центр.

Якщо , то

,