Похідні від основних елементарних функцій.

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Означення диференціалу функції.

Нехай функція у = f (х) диференційовна на деякому про- міжку, тобто для будь-якої точки х з цього проміжку границя існує і дорівнює скінченному числу.

Враховуючи взаємозв’язок змінної величини, що має скінченну границю, і нескінченної малої величини, можемо записати , де  — нескінченно мала величина ( при ).

Помноживши всі члени останньої рівності на , дістанемо

З виразу випливає, що приріст функції складається із суми двох доданків, з яких перший доданок — так звана головна частина приросту, лінійна відносно (при добуток є нескінченно мала величина). Другий доданок — добуток завжди нескінченно мала величина вищого порядку, ніж .

Означення. Добуток називається диференціалом функції у = f (х); його позначають символом dy, тобто

Таким чином:

.

Величина є малою вищого порядку порівняно з dy.

При малих доданком нехтують і користуються наближеною рівністю , або в розгорнутому вигляді: , звідки

.

Остання наближена рівність тим точніша, чим менше .

Приклад. Знайти диференціал dy функції .

Оскільки , то:

.

Приклад. Обчислити наближено .

Перетворимо вираз таким чином:

, звідки .

При обчисленні введемо функцію , тоді .

, де .

Інакше:

.

Дістанемо:

.

Дослідження функцій за допомогою похідних.

Похідна функції має широке застосування при розв’язуванні різних задач математики, фізики, техніки та економіки. Так, наприклад, за допомогою похідної можна обчислити границю функції, знайти екстремум функції, інтервали монотонності, точки перегину функції та інше.

Інтервалами монотонності функції називаються ті інтервали, на яких функція або тільки зростає, або тільки спадає або залишається сталою.

Якщо неперервна на інтервалі функція має в кожній точці цього інтервалу додатну похідну, то вона зростає на цьому інтервалі, а якщо від’ємну похідну, то вона спадає на цьому інтервалі.

Функція має максимум в точці , якщо для довільних точок із її околу виконується умова і має мінімум в точці, якщо виконується така умова: .

Максимум і мінімум функції називають екстремуми функції.

Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційовної функції є рівність нулю її похідної: .

Критичними або стаціонарними точками неперервної функції є ті точки, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує.

Д

остатньою умовою існування екстремуму в точці для диференційовної функції є зміна знака похідної при переході через цю точку. Так при зміні знака з “+” на “–” в точці функція має максимум, а з “–” на “+” – мінімум.

Вгнутим називається графік диференційовної функції в інтервалі , якщо він знаходиться вище довільної його дотичної на цьому інтервалі.

О

пуклим називається графік диференційовної функції в інтервалі , якщо він знаходиться нижче довільної його дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину неперервної функції називається та точка, яка відділяє вгнутість від опуклості її графіка.

Якщо друга похідна функції для всіх від’ємна (), то тут графік функції опуклий, а якщо – вгнутий.

Необхідною умовою існування точки перегину графіка функції є рівність нулю її другої похідної: в даній точці .

Точка , в якій , називається критичною точкою другого порядку для функції .

Достатньою умовою існування точки перегину графіка неперервної функції є зміна знаку другої похідної при переході через точку .

Асимптотою графіка функції називається пряма лінія, до якої графік функції наближається на нескінченності.

Вертикальною асимптотою є пряма , якщо виконується умова .

Для функції вертикальні асимптоти існують в її точках розриву другого роду.

Похилу асимптоту шукають у вигляді , а параметри і шукають за формулами:

, .

Якщо хоча б одна границя не існує, то похила асимптота відсутня.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Функція може досягати свого найбільшого та найменшого значення або на кінцях відрізка, або у критичних точках, якщо вони знаходяться у середині відрізка. Знайдемо критичні точки функції і розглянемо тільки ті, які потрапляють в інтервал .

.

Обчислимо значення функції у критичних точках та на кінцях відрізка. Одержимо:

;

;

; .

Відповідь: – найбільше значення функції; – найменше значення функції на відрізку.

Приклад. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

1) Знайдемо область визначення функції: .

2) У графіка цієї функції відсутні асимптоти. Якщо функція неперервна, то відсутні вертикальні асимптоти. При знаходженні похилих асимптот параметр не дорівнює скінченному числу:

.

3) Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції за допомогою першої похідної.

.

Одержані точки розбивають область визначення функції на такі інтервали: . Знайдемо знак похідної в кожному з інтервалів.

4) Знайдемо інтервали вгнутості та точки перегину графіка функції за допомогою похідної другого порядку.

.

Критичні точки другого порядку розбивають область визначення функції на інтервали вгнутості. Знайдемо знак другої похідної у кожному з них.

.

Точки перегину функції мають координати: і .

5) Знайдемо точки перетину функції з осями координат: при ; при . Для рівняння можна методом підбору знайти один корінь .

6) Побудуємо схематично графік функції.

Контрольні запитання.

1. Що називається похідною?

2. В чому полягає геометричний і механічний зміст похідної ?

3. Запишіть рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в певній точці.

4. Сформулюйте основні правила диференціювання функцій.

5. Запишить таблицю похідних елементарних функцій.

6. Що таке диференціал функції? Для чого він застосовується?

7. Що назівається екстремумом функції? Сформулюйте необхідну і достатню умову існування екстремума функції в певній точці.

8. Сформулюйте означення точки перегину та умови її існування.