Пример 16.
По утрам клиенты приходят в булочную в среднем по 16 человек в час. Прибытие может быть описано распределением Пуассона со средней величиной 16. Каждый продавец в среднем обслуживает одного клиента за 3 минуты; это время может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 3 минуты.
а) Каковы темпы прибытия и обслуживания?
б) Рассчитайте среднее число обслуживаемых клиентов.
в) Предположим, что среднее число ожидающих в очереди клиентов равно 3,5. Рассчитайте среднее число клиентов в системе (т.е. ожидающих и обслуживаемых), среднее время ожидания, среднее время в системе.
г) Определите загрузку системы для М = 2, 3 и 4 канала.
Решение.
а) λ – темп прибытия клиентов.
λ = 16 чел./ч
μ – темп обслуживания клиентов.
μ = 20 чел./ч
б) r – среднее число обслуживаемых клиентов.
r = λ /μ
r= 16/20 = 0,8 человек.
в) Lq – среднее число ожидающих в очереди клиентов
Ls – среднее число находящихся в системе клиентов
Ls = Lq + r
Ls = 3,5 + 0,8 = 4,3 человека.
Wq – среднее время ожидания
Wq = Lq / λ
Wq = 3,5/16 = 0,219 часа – 13 минут.
Ws – среднее время в системе
Ws = Wq + 1/ μ
Ws = 13 + 3 = 16 минут.
г) ρ – загрузка системы
ρ = λ / (μ ∙ М)
ρ2 = 16 /(20∙2) = 0,4 – 40%
ρ3 = 16 /(20∙3) = 0,27 – 27%
ρ4 = 16 /(20∙4) = 0,2 – 20%.
Пример 17.
Предприятие «Кронос» занимается производством резиновых изделий. В будущем году оно хотело бы расширить ассортимент своей продукции и производить резиновые прокладки для смесителей воды. Для этого необходимо провести исследование спроса на данный вид продукции.
Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.
Простейшей моделью (формулой), выражающей тенденцию развития является
линейная функция – прямая
уt = а0 + а1∙t,
где yt - теоретические уровни,
а0 и а1 – параметры прямой,
t – показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).
Для нахождения параметров а0 и а1 необходимо решить систему нормальных уравнений
а0∙n
+ a1∑t
= ∑y,
a0∑t + a1∑t2 = ∑yt,
где у – фактические уровни ряда динамики,
n – число уровней.
Для упрощения расчётов обозначим время так, чтобы начало его отсчёта приходилось на середину рассматриваемого периода.
Представим это в таблице 4.17
Таблица 4.17
Расчётные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выровненных теоретических значений.
год |
Средний объем спроса (руб.), у |
t |
t2 |
y∙t |
_ yt |
1 |
1611 |
-2 |
4 |
-3222 |
1330,4 |
2 |
1879 |
-1 |
1 |
-1879 |
1931,3 |
3 |
2135 |
0 |
0 |
0 |
2532,2 |
4 |
2962 |
1 |
1 |
2962 |
3133,1 |
5 |
4074 |
2 |
4 |
8148 |
3734 |
Итого: |
∑у = 12 661 |
∑t = 0 |
∑ t2= 10 |
∑y∙t = 6009 |
∑ yt = 12 661 |
Так как ∑t = 0, то система нормальных уравнений примет вид
а0∙n
= ∑у,
а1∑t2 = ∑yt.
Отсюда
∑у ∑уt
а0 = —— ; а1 = ————
n ∑t2
12 661 6009
а0 = ———— = 2532,2руб. а1 = ———— = 600,9руб.
5 10
Уравнение прямой будет иметь вид
уt = 2532,2 + 600,9∙t
Подставив в это уравнение значение t (таблица 2, графа 3), получим выравненные теоретические значения (таблица 2, графа 6).
уt1 = 2532,2 + 600,9∙(-2) = 1330,4руб.
уt2 = 2532,2 + 600,9∙(-1) = 1931,3руб.
уt3 = 2532,2 + 600,9∙0 = 2532,2руб.
уt4 = 2532,2 + 600,9∙1 = 3133,1руб_
уt5 = 2532,2 + 600,9∙2 = 3734руб.
Полученное уравнение показывает, что, несмотря на колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения объема спроса на резиновые прокладки для смесителей воды: с первого по пятый годы спрос увеличивался в среднем на 600,9 рублей в год. Поэтому можно предположить, что в ближайшем году спрос увеличится на 600,9 рублей.
Динамику спроса можно представить в графическом виде:
- выравненные
уровни спроса
- эмпирические
уровни спроса
Рис. 4.2. Динамика спроса.