МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

С.А. Воробьев

Математические модели в экономике

Конспект лекций

Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

Квалификация выпускника: бакалавр прикладной математики и информатики

Форма обучения: очная

Тула 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.	ЛЕКЦИЯ № 1. Введение. Современное состояние и развитие экономико-математического моделирования	3
2.	ЛЕКЦИЯ № 2. Классификация экономико-математических моделей	7
3.	ЛЕКЦИЯ № 3. Методология математического моделирования экономических систем. Особенности моделирования экономических процессов	10
4.	ЛЕКЦИЯ № 4. Основные принципы описания производственно - технологического процесса экономических систем. Этапы исследования экономических процессов	12
5.	ЛЕКЦИЯ № 5. Балансовые модели. Статические балансовые модели	16
6.	ЛЕКЦИЯ № 6. Анализ статистических балансовых моделей	21
7.	ЛЕКЦИЯ № 7. Динамические балансовые модели	24
8	ЛЕКЦИЯ № 8. Модели экономической динамики. Описание моделей экономической динамики	26
9.	ЛЕКЦИЯ № 9. Исследование моделей экономической динамики	34
10.	ЛЕКЦИЯ № 10. Оптимальные траектории. Характеристика оптимальных траекторий	40
11.	ЛЕКЦИЯ № 11. Вероятностно-статистические модели в экономике	46
12.	ЛЕКЦИЯ № 12. Модели массового обслуживания	62
13.	ЛЕКЦИЯ № 13. Модели изучения и прогнозирования спроса	71
14.	ЛЕКЦИЯ № 14. Модели управления товарными запасами	79
15.	ЛЕКЦИЯ № 15. Модели равновесия рынка	83
16	ЛЕКЦИЯ № 16. Модели потребительского выбора	87
17	ЛЕКЦИЯ № 17. Маржинальный анализ. Заключение	102

Лекция № 1. Введение. Современное состояние и развитие экономико-математического моделирования

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Сами понятия “модель”, “моделирование” имеют различные трактовки и оттенки в различных областях.

Термин “модель” ( франц. - modele, итал. - modello, от лат.- modulus - мера, образец, норма) означает:

1. физическая система (устройство, схема, установка, система машин) или математическое описание компонентов и функций, отображающее существенные свойства какого-либо объекта, процесса или явления;

2. образец, служащий эталоном для серийного или массового воспроизведения (модель автомобиля, одежды и т.п.), а также тип, марка какого-либо изделия, конструкции;

3. изделие, с которого снимается форма для воспроизведения в другом материале (лекало, шаблон, литейная модель и т.д.);

4. в математике и логике моделью какой-либо системы аксиом называют некоторую совокупность объектов, свойство которых и отношения между которыми удовлетворяют данной системе аксиом.

Существует много определений понятия “модель” и несколько классификаций их применительно к нуждам разных областей деятельности. Смысл всех определений сводится к тому, что модель - это образ некоторого объекта, отображающий определенную совокупность его характеристик. Как правило, исследователь строит модель, чтобы она наиболее полно отражала те характеристики, которые соответствуют целям данного исследования.

Термин “моделирование” означает:

1. метод исследования сложных объектов, явлений или процессов на их моделях (например, математических) или на реальных установках с применением методов теории подобия при постановке и обработке эксперимента;

2. изготовление моделей вновь создаваемых промышленных изделий для обработки их оптимальной конструкции и формы;

3. изготовление моделей самолетов, судов и т.п. в исследовательских, спортивных или познавательных целях.

Использование моделирования как метода исследования и познания имеет смысл постольку, поскольку модели оказываются проще и доступнее для проведения экспериментов, анализа и поиска закономерностей, чем изучаемые объекты непосредственно.

Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели и называется моделированием.

Процесс моделирования предполагает наличие:

1) объекта исследования;

2) исследователя, перед которым поставлена конкретная задача;

3) модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи.

Основные понятия систем и системного анализа

Система - (от греч. sýstëma - целое, составленное из частей; соединение) множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определённую целостность, единство.

При определении понятия системы необходимо учитывать теснейшую взаимосвязь его с понятиями целостности, структуры, связи, элемента, отношения, подсистемы и др.

Поскольку понятие системы имеет чрезвычайно широкую область применения (практически каждый объект может быть рассмотрен как система), постольку его достаточно полное понимание предполагает построение семейства соответствующих определений - как содержательных, так и формальных. Лишь в рамках такого семейства определений понятие “система” удается выразить основные системные принципы:

1. целостности - принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих её элементов и невыводимость из последних свойств целого, зависимость каждого элемента, свойства и отношения системы от его места, функции и т.д. внутри целого;

2. структурности - возможность описания системы через установленные её структуры, т.е. сети связей и отношений системы; обусловленность поведения системы поведением её отдельных элементов и свойствами её структуры;

3. взаимозависимость системы и среды - система формирует и проявляет свои свойства в процессе взаимодействия со средой, являясь при этом ведущим активным компонентом взаимодействия;

4. иерархичность - каждый компонент системы в свою очередь может рассматриваться как система, а исследуемая в данном случае система представляет собой один из компонентов более широкой системы;

5. множественности описания каждой системы - в силу принципиальной сложности каждой системы её адекватное познание требует построения множества различных моделей, каждая из которых описывает лишь определенный аспект системы и др.

С понятием "система" тесно связаны понятия "системный анализ" и "системный подход".

Системный анализ - совокупность методов и средств решения сложных задач. Основой системного анализа считают общую теорию систем и системный подход.

Важнейшие принципы системного анализа сводятся к следующему:

1. процесс принятия решений должен начинаться с выявления и четкого формулирования конечных целей;

2. необходимо рассматривать всю проблему как целое, как единую систему и выявлять все последствия и взаимосвязи каждого частного решения;

3. необходимы выявление и анализ возможных альтернативных путей достижения цели;

4. цели отдельных подсистем не должны вступать в конфликт с целями всей системы.

Системный анализ опирается на ряд прикладных дисциплин и методов, широко используемых в современной деятельности управления: исследование операций, метод экспертных оценок, метод критического пути, теорию очередей, математическое программирование, теорию полезности, теорию игр и т.п.

Системный подход - направление методологии научного познания, в основе которого лежит исследование объектов как систем.

Методологическая специфика системного подхода определяется тем, что он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта и обеспечивающих ее механизмов, на выявление многообразия типов связей сложного объекта и сведение их в единую теоретическую картину.

Любой экономический объект следует рассматривать с системных позиций.

Экономико-математические модели как сложные системы

Экономико-математические методы (ЭММ) используются для исследования объективных экономических законов и форм проявления этих законов.

Экономическое моделирование сложнее физического. Экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. Моделирование производственных процессов не представляет принципиальных трудностей и во многом соответствует принципам моделирования физических процессов. Моделировать же производственные отношения значительно сложнее, так как необходимо учитывать поведение людей, их интересов и индивидуально принятых решений.

Например, можно математически описать производительность каждого рабочего в каждой операции бригады на мелко серийном производстве, выделить эти операции, необходимые для изготовления каждой детали, и поставить задачу о минимальных затратах времени на выполнение полученных заданий. Такая проблема сводится к задаче линейного программирования, методы решения которой хорошо разработаны и не представляют трудностей.

Однако такое решение не учитывает индивидуальные особенности мастера, отдельных рабочих, не стимулирует в явном виде их экономические интересы. С этой точки зрения такая модель не учитывает производственные отношения и не всегда бывает эффективной в реальной жизни.

Экономико-математическая модель может рассматриваться как сложная система.

Признаками сложных систем являются:

1. Наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов. Невозможность полной формализации объекта.

2. Сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования.

3. Возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели функционирования всей системы.

4. Наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации.

5. Наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях взаимодействия случайных факторов.