Глава 2. О многоцелевой задачей линейного программирования и теории матричных игр

§1. Многоцелевая задача линейного программирования

1.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования.

Многоцелевой задачей линейного программирования называется задача линейного программирования с несколькими (линейными) целевыми функциями. Таким образом, многоцелевая задача линейного программирования имеет следующую математическую модель:

c₁₁x₁+c₁₂x₂+…+c_1nx_n  extr₁,

c₂₁x₁+c₂₂x₂+…+c_2nx_n  extr₂,

……………………………..

c_k1x₁+c_k2x₂+…+c_knx_n  extr_k,

Здесь extr_i{min, max}, i=1, 2, …, k.

Решить многоцелевую задачу линейного программирования  это значит найти такое решение, при котором значения всех целевых функций будут наиболее близки к их экстремальным значениям. Назовём такое решение компромиссным. На сегодняшний день разработан целый ряд подходов и методов к решению многоцелевой задачи линейного программирования. Следует сразу отметить, что разные подходы и методы не дают однозначного ответа. Один из подходов к решению таких задач заключается в сведении задачи к одноцелевой. Мы рассмотрим два метода сведения задачи к одноцелевой.

1.2. Метод идеальной точки рассмотрим на примере задачи с двумя переменными и двумя целевыми функциями:

c₁₁x₁+c₁₂x₂  extr₁,

c₂₁x₁+c₂₂x₂  extr₂,

Алгоритм метода  следующий:

1. Найти область допустимых решений (ОДР) задачи (то есть в прямоугольной декартовой системе (ПДСК) Ox₁x₂ построить множество решений системы ограничений задачи). Допустим, многоугольник A₁A₂…A_l  ОДР.

2. Найти координаты вершин A_i ОДР.

3. В ПДСК OC₁C₂ изобразить образ ОДР при отображении C с матрицей C= . Для этого подставляя координаты ( , ) точки A_i в целевые функции, найти координаты (c₁₁ +c₁₂ , c₂₁ +c₂₂ ) образа при этом отображении. Многоугольник … есть искомый образ ОДР.

4. Найти в ПДСК OC₁C₂ так называемую точку утопии U( , ), где =extr₁(c₁₁x₁+c₁₂x₂), =extr₂(c₂₁x₁+c₂₂x₂).

5. На многоугольнике … найти ближайшую к точке U утопии точку I. Это  так называемая идеальная точка.

6. Решив систему где  координаты идеальной точки, определить значения x₁ и x₂, при которых достигаются компромиссные значения и целевых функций задачи.

Пример 1. Решить многоцелевую задачу линейного программирования методом идеальной точки:

4x₁+ x₂  max,

x₁+4x₂  min,

Решение. Действуем по вышеописанному алгоритму:

1. Найдём ОДР задачи. ОДР задачи  треугольник ABC на Рис. 1 (подробности опускаем):

Рис. 1

2. Найдём координаты вершин A, B, C ОДР (подробности опускаем): A(0, ), B(0, ), C(1, 3).

3. В ПДСК OC₁C₂ изобразим образ ОДР при отображении C с матрицей C= . Для этого подставляя координаты точек A, B, C в целевые функции, находим координаты их образов A, B, C соответственно:

A=(40+ , 0+4 )=( , 6), B=(40+ , 0+4 )=( , ),

C=(41+3, 1+43)=(7, 13).

Треугольник ABC есть искомый образ ОДР (Рис. 2):

Рис. 2 Рис. 3

4. Найдём точку утопии U. Это точка, координаты которой равны экстремумам целевых функций, как если бы они рассматривались в отдельной одноцелевой задаче с данной системой ограничений. Из Рис. 3 видно, что максимум первой целевой функции равен 7 ( =7), а минимум второй целевой функции равен 6 ( =6). Поэтому U(7, 6)  точка утопии.

5. На треугольнике ABC найдём ближайшую к точке U утопии точку I  идеальную точку. Ясно, что она лежит на стороне AC и является основанием перпендикуляра, опущенного из точки U к прямой AC. Поэтому точку I находим по следующей схеме:

5.1. Находим уравнение прямой AC.

5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U перпендикулярно к AC.

5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых, найденных в п.п. 5.1 и 5.2.

Итак:

5.1. Находим уравнение прямой AC как уравнение прямой, проходящей через точки A и C:

 .

После очевидных алгебраических преобразований полученного канонического уравнения прямой приходим к её общему уравнению:

14С₁11С₂+45=0.

5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U(7, 6) перпендикулярно к AC: (С₁7)+(С₂6)=0, что равносильно .

11С₁+14С₂161=0.

5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых, найденных в п.п. 5.1 и 5.2:



6. Решив систему определяем значения x₁ и x₂, при которых достигаются компромиссные значения и целевых функций задачи. Решение системы  и .

Ответ. Компромиссные значения и целевых функций достигаются задачи достигаются при и .

1.3. Метод введения дополнительной переменной заключается в следующем:

1. Задача решается для каждой целевой функции отдельно, то есть для каждого i=1, 2, …, k решается задача

c_i1x₁+c_i2x₂+…+c_inx_n  extr_i,

(1.1)

Пусть C_i=extr_i (то есть C_i  экстремальное значение целевой функции задачи (1.1))

2. Составляется новая задача линейного программирования:

x_n+1  min,

(1.2)

где «»=«+» и «»=«», если C_i=extr_i=max, и «»=«» и «»=«», если C_i=extr_i=min.

3. Решается задача (1.2) обычным образом (например, симплекс-методом или методом искусственного базиса; можно на компьютере в Excel, кому как нравится).

4. Находятся значения целевых функций исходной задачи при найденном решении.

5. Формулируется ответ, в котором указывается: решение , при котором достигается компромиссное решение, и значения всех целевых функций при данном решении.

Пример 2. Решить задачу Примера 1 введением дополнительной переменной.

Решение. 1. Решаем задачу для каждой целевой функции отдельно, например, в оболочке Excel в режиме поиск решения:

4x₁+x₂  max, x₁+4x₂  min,

Решения этих задач и их сценарии  следующие:

Решение первой: X₁=(1, 3), F_max=7.

Решение второй: X₁=(0, 3/2), F_min=6.

2. Составляем новую задачу линейного программирования:

x₃  min,

1. Решаем полученную задачу в оболочке Excel (в режиме «Поиск решения»). В отдельные ячейки вводим целевые функции. Сценарий и результаты решения  следующие:

В ячейках А1, А2, А3  значения соответственно x₁, x₂, x₃, в ячейках D1 и E1  значения целевых функций, соответственно первой и второй.

Ответ: X₀=(0,402439; 2,103659); C₁=3,713415; C₂=8, 817073.

1.4. Упражнение. Решить многоцелевую задачу линейного программирования методами идеальной точки введения дополнительной переменной:

а) 3x₁+2x₂  extr₁ б) 2x₁+5x₂  extr₁

x₁+4x₂  extr₂ 4x₁+3x₂  extr₂