1 Теоретические сведения используемые для решения и анализа задачи линейного программирования

1. Понятие задачи линейного программирования, допустимого и оптимального плана задачи

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений.

Общей задачей линейного программирования называют задачу      max(min)            (2.1), при ограничениях:             (i=1,…, )           (2.2)             (i= +1,…, )      (2.3)             (i= +1,…, )     (2.4)                     (j= )              (2.5)       -произвольные            (2.6)      где   - заданные действительные числа;

(2.1) – целевая функция;

(2.1) – (2.6) –ограничения; 

 –план задачи.

1.2 Постановка задачи планирования производства продукции и математическая модель этой задачи в общем виде

Необходимо построить математическую модель задачи и привести ее к канонической форме. Построить математическую модель двойственной задачи и привести ее ограничения к виду равенства. Решить исходную задачу с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» и получить отчеты по устойчивости и результатам. На основе анализа вышеуказанных отчетов выписать оптимальные значения основных и дополнительных переменных исходной и двойственной задач и ответить на вопросы, сформулированные в каждом варианте задания.

3. Способ приведения задачи к канонической форме и экономический смысл дополнительных переменных

Приведение задачи линейного программирования к канонической форме достигается путем введения новых, или их еще называют дополнительными, переменных. Эти дополнительные переменные имеют абсолютно ясный экономический смысл, а именно означают величину неиспользованного i-го вида. В этом случае дополнительный коэффициент приобретает положительное значение и может рассматриваться как неиспользованный лимит времени.

3. Правила построения и экономический смысл двойственной задачи

Для построения двойственной задачи, существуют основные правила:

1. Каждому i-му ограничению исходной задачи соответствует переменная    двойственной задачи и, наоборот, каждому j-му ограничению двойственной задачи соответствует переменная   исходной задачи.

2. Матрицы А ограничений 1 – 2 и А' ограничений 3' – 4' взаимно транспонированы. Следовательно, строка коэффициентов  в j-м ограничении двойственной задачи есть столбец коэффициентов при  в ограничениях 1 – 2 исходной задачи, и наоборот.

3. Свободные члены ограничений одной из задач являются коэффициентами при соответствующих переменных в целевой функции другой задачи. При этом максимизация меняется на минимизацию, и наоборот.

4. В каждой задаче ограничения-неравенства следует записывать со знаком «≤» при максимизации и со знаком «≥» – при минимизации.

5. Каждому i-му ограничению-неравенству исходной задачи соответствует в двойственной задаче условие неотрицательности , а равенству – переменная   без ограничения на знак. Наоборот, неотрицательной переменной  соответствует в двойственной задаче j-е ограничение - неравенство, а произвольной переменной – равенство.

3. Первая и вторая теоремы двойственности. Теорема об оценках.

Первая теорема двойственности

Для взаимодвойственных ЗЛП имеет место один из взаимоисключающих случаев.

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: max f(X) = min g(Y).

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)

Пусть   - допустимое решение прямой задачи (3.1)-(3.3), а   - допустимое решение двойственной задачи (3.4)-(3.6). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойсгвенных задач (3.1)-(3.3) и (3.4)-(3.6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Условия (3.7) и (3.8) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут использованы в дальнейшем.

Теорема об оценках (третья теорема двойственности)

Значения переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений - неравенств прямой задачи на величину целевой функции этой задачи:

Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную ЗЛП. Значения переменных двойственной задачи г/, в оптимальном плане называют, как выше уже отмечено, объективно обусловленными, или двойственными оценками.