2.2. Решение задачи

Составим математическую модель этой задачи. Для этого выполним следующие три шага:

1. Введем переменные. Нужно найти план производства, т. е. количество продукции каждого вида, которые следует производить. Таким образом, будет пять переменных:

 x₁ – количество продукции первого вида;

 x₂ – количество продукции второго вида;

 x₃ – количество продукции третьего вида;

 x₄ – количество продукции четвертого вида.

 x₅ – количество продукции пятого вида.

2. Запишем целевую функцию. Она должна выражать критерий оптимальности. В нашей задаче указано, что должна быть максимальна прибыль. Поэтому целевая функция должна представлять собой формулу расчета прибыли.

Прибыль от единицы продукции первого типа составляет 1.0 усл. ед., а поскольку мы собираемся выпускать x₁ таких изделий, то прибыль от них составит 1.0x₁ усл. ед. Аналогично прибыль от продукции второго типа равна 0.7x₂ усл. ед., третьего - 0.6x₃ усл. ед., четвертого – 2.0 x₄ усл. ед., пятого - 0.3x₅ усл. ед.

Общая прибыль от всей продукции определяется по формуле:

F = 1.0x₁ + 0.7x₂ + 0.6x₃ + 2.0x₄ + 0.3x₅→ max.

3. Запишем систему ограничений. Очевидно, что расход каждого вида ресурса не должен превышать его запас. Расход темного шоколада на продукцию первого типа равен 0.8x₁, на продукцию второго типа – 0.5x₂, третьего – 1.0x₃, четвертого – 2.0x₄, пятого – 1.1x₅. Общий расход темного шоколада выражается с помощью формулы х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х_5, а запас равен 1411. Поэтому имеем следующее неравенство:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ 1411.

Аналогично записываются другие ограничения. Кроме того, необходимо, чтобы количество производимой продукции было величиной неотрицательной. Таким образом, модель задачи имеет следующий вид:

Приведем исходную задачу к каноническому виду, введя дополнительные переменные:

Переменные yi – это остатки ресурсов каждого вида. Показатель y1 – это остаток темного шоколада, y2 – остаток светлого шоколада, а y3 – остаток сахара, y4 - остаток карамели , y5 – остаток орехов.

Составим двойственную задачу, используя формальные правила составления двойственных задач:

Двойственные переменные zi  это оценки ресурсов задачи (цена единицы каждого ресурса). Целевая функция задачи представляет собой общую стоимость ресурсов. Фабрика откажется от выпуска продукции первого типа при условии, что стоимость всех ресурсов, которые будут потрачены на выпуск единицы этой продукции (0.8z1 + 0.5z2 + 1.0z3+ 2.0z4+ 1.1z5), будет не менее, чем прибыль от производства готовой единицы продукции (1.0).

В двойственной задаче приведем ограничения к виду равенства, вычитая из левых частей ограничений дополнительные переменные:

Дополнительные двойственные переменные v_j – это потери при производстве единицы продукции j-го типа. Эти переменные означают разность между той суммой, которую можно было бы получить при продаже ресурсов, и прибылью, получаемой при производстве самой продукции, для продукции первого типа₁=(0.8z₁+ 0.5z₂ + 1.0z₃+ 2.0z₄+ 1.1z₅) – 1.0). Эта величина показывает, насколько выгоднее было бы продать ресурсы, чем производить данный тип продукции.

Решим исходную задачу с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

Исходные данные представим в виде таблицы, которая содержит формулы вычисления целевой функции, левых и правых частей ограничений. Ячейки, которые отведены под значения переменных, называются изменяемыми. В них должны быть введены начальные приближения для переменных - нулевые. Когда надстройка «Поиск решения» закончит вычисления, в эти ячейки будут записаны найденные оптимальные значения переменных.

Ячейка, которая содержит формулу вычисления значения целевой функции, называется целевой.

Подготовим исходные данные задачи на листе Excel.

Рисунок 1 – Лист Excel с исходными данными

Изменяемыми ячейками будут ячейки A3:E3, которые отведены под значения переменных. В них введены начальные значения переменных – нули.

Целевой ячейкой будет являться ячейка F5, которая содержит формулу вычисления значения целевой функции. Для ее ввода применяется мастер функций, вызываемый кнопкой . Данная функция относится к категории Математические. Выбрав ее название в меню, нужно заполнить окно параметров. При этом Массив 1 – это диапазон коэффициентов целевой функции, а Массив 2 – диапазон изменяемых ячеек. Функция СУММПРОИЗВ() соответствующие ячейки диапазонов перемножает и находит сумму этих произведений. Например, формула в ячейке Е5 записана в виде CУММПРОИЗВ(A5:D5; A3:D3), что соответствует формуле расчета прибыли 60x₁ + 70x₂ + 120x₃ + 130x₄.

В ячейке E7:E9 введены формулы вычисления левых частей ограничений. Они также заданы с помощью функции СУММПРОИЗВ().

Вызываем надстройку «Поиск решения». Это выполняется командой Сервис  Поиск решения. Затем задаем условие поиска. В окне «Поиск решения» указаваем адрес целевой ячейки и цель, которая должна быть достигнута, в данной задаче это максимальное значение целевой функции, адреса изменяемых ячеек, а также задаём ограничения задачи. Заполненные поля окна «Поиск решения» показаны на рисунке 2.

Рисунок 2 – Окно «Поиск решения»

Для ввода ограничений нажимаем кнопку Добавить. Появляется окно «Добавление ограничения» (рисунок 3). В поле Ссылка на ячейку указываем ячейку, содержащую формулу левой части ограничения. Затем из раскрывающегося списка выбираем знак ограничения. В поле Ограничение указывается ячейка, содержащая правую часть ограничения. После ввода ограничения нажимаем кнопку Добавить. После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку ОК и вернёмся в окно «Поиск решения».

Поскольку все ограничения по ресурсам имеют одинаковый знак, то их можно задать одновременно: E7:E9<=F7:F9.

Рисунок 3 – Окно «Добавление ограничения»

Зададим параметры поиска и, нажав кнопку Параметры, установим параметры алгоритма поиска (рисунок 4).

Рисунок 4 – Окно «Параметры поиска решения»

Для нашей задачи мы устанавливаем два значения:

 Линейная модель, который указывает, что это задача линейного программирования и позволяет получать в дальнейшем правильные отчеты;

 Неотрицательные значения, который задает условия не отрицательности переменных, которые учтены в математической модели задачи.

После установки значений нажимаем кнопку OK и возвращаемся в окно «Поиск решения».

Запустим процесс решения. Нажатием кнопки Выполнить, активизируем процесс поиска решения. По окончании поиска на экране появляется окно «Результаты поиска решения» (рисунок 5).

Рисунок 5 – Окно «Результаты поиска решения»

В окне появилось сообщение «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». Переключатель установили в положение «Сохранить найденное решение», и в списке «Тип отчета» выделили все названия отчетов, затем нажали кнопку OK. На листе Excel зафиксирован результат решения, изменяемые ячейки получили оптимальные значения, а также изменился результат в ячейках с формулами, а на отдельных листах сформирован отчет по результатам, устойчивости и пределам.

Лист Excel с результатами решения показан на рисунке 6. Из него следует, что оптимальные значения переменных следующие: х₁ = 0, х₂ = 1490, х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0. Максимальное значение целевой функции (прибыль) составит F^ = = 1043 усл. ед.

Рисунок 6 – Результаты решения задачи

Отчет по результатам показан на рисунке 7. В этом отчете содержатся те же результаты, что и на листе с решением задачи. Таким образом, из этого отчета можно также получить оптимальные значения переменных х_j и значение целевой функции. Кроме того, в этом отчете в графе «Допуск» показаны остатки неиспользованных ресурсов. Таким образом, можно выписать следующие значения дополнительных переменных: .

Рисунок 7 – Отчет по результатам

Отчет по устойчивости представлен на рисунке 8. Из него можно выписать оптимальные значения двойственных переменных. Оценки ресурсов содержатся в графе «Тень цена», т. е. . Из графы «Приведенная стоимость» выпишем следующие оптимальные значения дополнительных двойственных переменных: .

Рисунок 8 – Отчет по устойчивости