Пример точного решения ДУ (продолжение3)
u |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) 1. |
|
|
0 |
0; q |
0 |
1; |
1 |
1; |
1 |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
u |
|
x 1 0; g(x) 1; |
|
|
|
|
|
|
q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
Имеем сразу |
|
|
c1 g(0) |
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
p( x) f ( x)dx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
Из |
1 |
|
p(1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
p( x) |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
q |
( g(1) |
c1 |
|
g(1) ) |
|
|
(c2 g( x) dx c1 g( x)dx) |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
Получаем |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0( |
|
|
1 |
|
|
) 1(c |
|
|
|
dx |
1 |
|
dx) |
0; c |
|
1.5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
p( x) |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( x) c2 |
|
|
dx c1 |
|
dx |
1.5 |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g( x) |
g( x) |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
06/25/19 |
11 |
Постановка задач для ДУ в частных производных (ДУЧП)
•Большинство окружающих нас физических полей описывается ДУЧП второго порядка, или системами таких ДУЧП.
•Если процессы не слишком интенсивны, то можно ограничиться линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
a |
2u |
|
|
b |
u |
cu f |
x1 x, x2 y, x3 z, x4 t. |
|
|
|
|||||
ij x x |
j |
i x |
|
|
|||
ij |
i |
i |
i |
|
|
||
•Свойства решений существенно зависят от коэффициентов, стоящих при старших производных. С помощью соответствующей замены независимых переменных уравнение может быть приведено к одному из трех типов
Параболические
Гиперболические
Эллиптические
06/25/19 |
12 |
Параболические
|
|
u |
2 |
|
2 |
u |
|
2 |
u f |
|
|
|
|
|||||
• |
Канонический вид |
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
|
|
t |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||
Уравнение |
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|||||
• |
теплопроводности a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
g |
|
|
|
g |
|
|
|
g |
|
f |
||||||
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
•распространение возмущения
u 2ut x2
06/25/19 |
13 |
Гиперболические
• Канонический вид |
2 |
u |
|
2 |
u |
|
2 |
u |
|
2 |
u |
f |
|
|
|
|
|
||||||||
|
t2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
||||
• Волновое |
|
2u |
|
|
u |
|
u |
||
|
a |
|
|
|
g |
|
|
g |
|
x y y
•Д’Аламбера
•Распространение одномерного возмущения2• уравнение
|
|
u |
|
|
|
|
g |
|
f |
|
|
|||
|
z |
|
z |
|
|
|
|
||
2u 2ut2 z2
Точное решение |
u f (t mx) |
|
06/25/19 |
14 |
Эллиптические (стационарные процессы)
|
|
2 |
u |
2 |
u |
2 |
u f |
• |
Канонический вид |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||
•Уравнение
•Пуассона
•(Лапласса)
|
u |
|
u |
|
u |
|
|||||
|
g |
|
|
|
g |
|
|
|
g |
|
f |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
|
z |
|
x |
|
y |
|
|
|
||||||
•При постановке задач для ДУ в частных производных обычно
требуется найти распределение , удовлетворяющее ДУ в некоторой области пространства с границей Г.
y
Г
x
06/25/19 |
15 |
Граничные условия
•Общее решение ДУЧП содержит произвольные дифференцируемые функции, например
• Решением 2u |
|
2u |
является |
u f (t z) |
||
t |
2 |
z |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
•Начальные условия
u |
|
t 0 |
U 0 |
(x, y, z) |
|
u |
|
|
U 0 |
(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• Граничные условия |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
первого рода |
второго рода |
третьего рода |
|
|||||||||
Дирихле |
Неймана |
|
Ньютона |
|
|
|||||||
uГ ( ) |
u |
|
|
|
|
u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
r |
|
( Г ) |
|
|
|
|||||||
Г |
|
|
|
|
|
r uГ |
( ) |
|||||
|
|
|
|
n |
|
Г |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
06/25/19 |
16 |
Пример решения |
u |
2u |
|
|||||||
t |
z2 |
1 |
||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1; u |
|
x 1 0; u |
|
t 0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
17
Как получают дифференциальные уравнения
•ДУ являются следствием фундаментальных законов природы и применения интегральных теорем
•Например, Французский математик и физик Жан Батист Жозеф
Фурье в 1822 г. установил закон теплопроводности (закон Фурье):
количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу времени, пропорционально проекции градиента температуры на нормаль к поверхности. Математически этот закон выражается следующим простым соотношением
|
|
|
q T n |
T |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|||||
|
Вт |
|
Tград |
|
|||
Вт |
|
|
м град |
n |
|||
q |
2 |
|
|
||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
06/25/19 |
18 |
Пример получения стационарного двумерного уравнения теплопроводности
используя закон Фурье
Выберем элементарный объемV= x y
в центре которого находится точка x,y .
Допустим, что в таком кубике в единицу времени выделяется количество теплоты, равное
y/2
- x/2 |
|
x/2 |
|
|
|
- y/2
QV qV ( x, y) x y
06/25/19 |
19 |
Составим уравнение баланса для элементарного объема
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V |
|
x |
|
x |
|
x |
x |
|
|
y |
y |
|
y |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разделим на x y:
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
x |
|
x |
x |
|
|
|
y |
y |
|
|
y |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
qV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем к пределу 0
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
( x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
y |
|
y |
|
V |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
06/25/19 |
|
|
|
|
20 |
||||