Тема 8. Финитные функции и аппроксимация
Базис из финитных функций
Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
В-сплайн и некоторые наиболее часто используемые базисы
Двумерные финитные функции на треугольной сетке
06/25/19 |
1 |
Базис из финитных функций
Финитной называется функция k (x) , определенная для всех
• x ( ) , но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области k , называемой конечным носителем
0, |
x k , |
|
k ( x) |
x |
. |
( x), |
||
|
k |
|
1 |
|
0 
06/25/19 |
2 |
Построение базиса
Область разбивается на конечные элементы,
на каждом из которых определена финитная функция
2 |
3 |
|
|
k |
|
4 |
|||
|
|
|
|
a |
2 |
3 |
4 |
b |
|
|
|||
|
|
|
|
k |
06/25/19 |
|
|
|
3 |
Построение базиса
N |
|
k i k или i . |
k ; |
k ; |
|
k 1 |
|
|
06/25/19 |
4 |
Хорошие свойства базиса из финитных функций
1. Ввиду квазиортогональности |
|
|
||
k , i k id |
|
|
0; |
k i 0 |
k id |
0; |
k i 0 |
||
|
k i |
|
||
матрица проекционного уравнения сильно разрежена. Более того, если условие k i выполняется только для смежных носителей, то матрица получается ленточной.
2. Возможность выбора специфических приграничных конечных элементов и связанных с ними финитных функций, учитывающих особенности границы, позволяет эффективно решать краевые задачи на достаточно произвольной области.
06/25/19 |
5 |
Представление искомой функции
При таком выборе базиса естественно поставить вопросы о его полноте, выборе вида функций и аппроксимационных свойствах разложения искомого решения в виде
N
u ~ uN (x) ak k (x)
k 1
На эти вопросы частично отвечает Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
06/25/19 |
6 |
a =u(x ) |
ak k(x)+ ak+1 k+1(x) |
|
k |
k |
|
u(x)
ak k(x)
k(x)
0 |
xk |
xk+1 |
b |
|
|
06/25/19 |
7 |
Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
Изложим основные идеи этой теории для функций одной переменной с регулярными конечными элементами
Область 0,b |
покрываем равномерной сеткой: |
|
||
xk k p h, |
h b / n, |
k 1...N ; |
N n 1 2( p 1); |
p 1, 2,... |
|
p=1 |
p=2 |
|
|
x1 p=1
|
xk |
xi |
b |
x1 p=2 |
0 |
|
|
|
|
|
06/25/19 |
8 |
Нормированные финитные функции
|
|
0, |
|
x |
|
p, |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( x) |
|
|
x |
|
p. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
( x), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x |
|
1, |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( x) |
|
|
x |
|
1. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
( x), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 
-1 0 1
06/25/19 |
9 |
Базисные Финитные функции
Конечные элементы:
k xk ph, xk ph
Базисные финитные функции = сдвиги стандартной финитной ф-ии
|
p |
|
p x k p h |
p x x |
k |
|
1 x x |
k |
|
|||||||
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
h |
|
h |
|
|
ph |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
06/25/19 |
10 |