Розв’язування

Для даної задачі

і .

Число змінних у двоїстій задачі дорівнює числу нерівностей і рівнянь у початковій системі умов, тобто трьом. Коефіцієнтами в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи умов, тобто числа 12, 17, 4.

У відповідності до загальних правил задача, двоїста по відношенню до даної, формулюється наступним чином: знайти мінімум функції при умовах

Щоб знайти розв’язок двоїстої задачі, спочатку знаходимо розв’язок вихідної задачі методом штучного базису, який приведений у таблиці 1.

Основна форма задачі:

Табл.1

І	Б		Сбаз	Р0 (план)	1	2	-1	0	0	-М
1			0	12	-1	4	-2	1	0	0
2			0	17	1	1	2	0	1	0
3			-М	4	2*	-1	2	0	0	1
4				0	-1	-2	1	0	0	0
5				-4	-2	1	-2	0	0	0
1			0	14	0	7/2*	-1	1	0	1/ 2
2			0	15	0	3/2	1	0	1	-1/2
3			1	2	1	-1/2	1	0	0	1/ 2
4				2	0	-5/2	2	0	0	1/ 2
1			2	4	0	1	-2/7	2/7	0	1/7
2			0	9	0	0	13/7	-3/7	1	-5/7
3			1	4	1	0	6/7	1/7	0	4/7
4				12	0	0	9/7	5/7	0	6/7

З останньої симплекс-таблиці видно, що , є додатними. Це означає, що знайдений опорний план початкової задачі є оптимальним і а двоїста задача має розв’язок . Оптимальні двоїсті оцінки задовольняють усім умовам двоїстої задачі. При цьому мінімальне значення цільової функції двоїстої задачі дорівнює , що співпадає з максимальним значенням цільової функції початкової задачі.

Завдання 4. Розв’язати задачу двоїстим симплекс-методом.

Розв’язування

Запишемо задачу у канонічній формі:

Перемножимо перше та третє рівняння системи рівнянь на -1: Побудуємо симлекс-таблицю:

І	Б	Сбаз	(план)	5	-2	-6	4	2	0	0
1		0	-12	-2	1	-1	-2	0	1	0
2		2	30	3	2	-2	5	1	0	0
3		0	-16	1	-3	-5*	-1	0	0	1
4			60	1	6	2	6	0	0	0

З таблиці:

На перетині стовпця вектора і рядка вектора міститься мінімальний від’ємний елемент -16.

Щоб знайти розв’язуючий елемент ділимо елементи індексного рядка зі знаком мінус стовпців - на елементи рядка, що відповідає вектору : .

Розв’язуючий елемент -5 на перетині рядка і стовпця .

Заповнюємо нову симплекс-таблицю:

І	Б	Сбаз	(план)	5	-2	-6	4	2	0	0
1		0	-44/5	-11/5*	8/5	0	-9/5	0	1	-1/5
2		2	182/5	13/5	16/5	0	27/5	1	0	-2/5
3		-6	16/5	-1/5	3/5	1	1/5	0	0	-1/5
4			268/5	7/5	24/5	0	28/5	0	0	2/5

З таблиці:

Оскільки у стовпці є від’ємний елемент -44/5, то, аналогічно до попереднього будуємо нову симплекс-таблицю.

.

Розв’язуючий елемент -11/5 на перетині рядка і стовпця .

І	Б	Сбаз	(план)	5	-2	-6	4	2	0	0
1		5	4	1	-8/11	0	9/11	0	-5/11	1/11
2		2	26	0	56/11	0	36/11	1	13/11	-7/11
3		-6	4	0	5/11	1	4/11	0	-1/11	-2/11
4			48	0	64/11	0	49/11	0	7/11	3/11

Оскільки у останній симплексній таблиці у стовпці не має від’ємних елементів, то план

Завдання 5. Методом Р. Гоморі розв’язати задачу цілочислового програмування: визначити максимум цільової функції при умовах