2.2. Моделирование экономических задач планирования и управления

Введем сначала некоторые понятия и определения. Задачи, в которых отыскивается max или min некоторой функции при наличии ограничений на переменные, объединяются общим названием - задачи математического программирования. Функция, экстремум которой отыскивается, называется целевой функцией. Фигурирующие в математической модели ограничения представляют собой систему соотношений, сужающую область допустимых значений, так называемых управляемых переменных, т.е. тех величин, которые подлежат оптимизации. Выраженные через управляемые переменные целевая функция и ограничения и составляют математическую модель задачи оптимизации. Всякий набор значений переменных, удовлетворяющих ограничениям, определяет допустимый план, а тот из них, на котором достигается экстремум (он может оказаться не единственным), определяет оптимальный план.

Рассмотрим некоторые математические модели задач планирования и управления, которые сводятся к задачам математического программирования.

1. Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Эта задача возникает при составлении планов выпуска продукции и поэтому имеет важное практическое значение.

Пусть номенклатура выпускаемой фирмой тур. продукции состоит из n наименований. Обозначим через a_ij затраты I-го вида ресурсов (I=1,2,…., m) на производство единицы продукции j-го вида (j=1,2,….n), через b_i-полные объемы имеющихся ресурсов (I-1, 2,,…m), c_i-прибыль, получаемую фирмой при изготовлении и реализации единица I-го вида тур продукта, а через а_i и A_i—соответственно, наперед задаваемые нижнюю и верхнюю границы по объему выпуска I-го вида продукции.

Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществим по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуски каждого вида продукции и в тоже время приносил бы наибольшую общую прибыль предприятию.

Математическая модель задачи состоит в следующем: найти такой план выпуска продукции x=(x_1, x₂, x₃,…x₄), чтобы выполнялись неравенства.

1) а_ij x_j b_i , I=1,2,…m (технологические ограничения)

2) a_j x_j A_j , j=1, n (ограничения на объемы отдельных видов выпускаемой продукции) и при этом достигался бы Max c_i x_j (общая прибыль от производства и реализации продукции).

2. Оптимизация межотраслевых потоков

Пусть имеется n отраслей хозяйства, каждая из которых производит один специфический вид продукции, причем каждый произведенный вид продукции используется в производстве во всех n отраслях.

Введем следующие обозначения:

X_i—объем производства в I-ой отрасли,

Y_i—объем продукта I-го вида для внепроизводственного потребления,

a_ij — коэффициенты прямых затрат продукции j-го вида на производство I-ой продукции,

N_i— максимально возможный объем производства в I-ой отрасли,

d_i— требуемое для внепроизводственного потребления количество продукции I-го вида,

c_i— стоимость единицы продукции i-го вида.

Требуется найти также возможные в заданных условиях объемы производства x_i и такой план выпуска конечной продукции y_i (I= ), при которых максимизируется общая стоимость произведенного конечного продукта.

Математическая модель этой задачи может быть представлена в следующем виде:

Найти такие векторы X=(x₁,x₂,…,x_n) и Y=(y_1, y_2,,…,y_n),чтобы достигался max c_i y_i (общая стоимость всего конечного продукта) при выполнении ограничений:

1. Ограничение на объемы производства 0 x_i N_i, I= ;

2. Ограничения на выпуск конечного продукта y_i d_i, I= ;

3. Технологические ограничения на выпуск продукции

x_i a_ij x_i+y_i, I= .