2.9. Эквивалентность ставок

Иногда при составлении финансово-кредитных соглашений оговаривают эквивалентность ставок.

Эквивалентными называют такие ставки, которые по истечении заданного периода времени дают одинаковые денежные суммы.

Для установления эквивалентности между простыми процентной i и учетной d ставками необходимо приравнять наращенные суммы и , определяемые формулами (2.2) и (2.17), и выразить эквивалентную ставку через исходную ставку. Пусть в финансовом соглашении исходно была задана простая учетная ставка d, а затем было решено заменить ее эквивалентной простой процентной ставкой i. Тогда необходимо выразить ставку i через ставку d:

	;
	;
	;
	.

Если бы ситуация была иной, и исходной была бы простая процентная ставка, а эквивалентной ­– простая учетная, то формула имела бы вид

.

Аналогично можно установить эквивалентность между всеми ставками. Выполненные преобразования показывают, что для получения формул эквивалентности ставок достаточно попарно приравнять соответствующие множители наращения , , и [2, 3, 5, 6]. Приравнивая данные формулы, опуская алгебраические преобразования и вводя обозначение для сложной процентной ставки и для сложной учетной ставки, получаем необходимые расчетные формулы эквивалентных ставок (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Формулы эквивалентных ставок

Эквива­лентная ставка	Исходная ставка
	–	(2.22)	(2.23)	(2.24)
	(2.25)	–	(2.26)	(2.27)
	(2.28)	(2.29)	–	(2.30)
	(2.31)	(2.32)	(2.33)	–

Если продолжительность ФО задана числом дней , а расчеты выполняют при разных значениях временных баз (  – для ставки i,  – для ставки d), то, например, формулы (2.23) и (2.28) примут вид:

	;	(2.34)
	.	(2.35)

Тогда при и по формулам (2.34) и (2.35) получим:

; .

Пример 2.6. Финансовый кредит на сумму 60 000 рублей выдан на срок 14 месяцев. Сложная процентная ставка 27% годовых. Определить три эквивалентные ставки ( , , ) и по всем четырем ставкам построить графики наращения с интервалом 2 месяца. При расчете эквивалентных ставок в долях единицы округление выполнять до 5-го знака в дробной части.

Решение.

руб.;

мес.;

.

Продолжительность данной ФО задана в месяцах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.7): . Для расчета эквивалентных ставок при заданной сложной процентной ставке используем формулы (2.22), (2.29), (2.32) из табл. 2.3:

;

;

.

Согласно определению, эквивалентные ставки по истечении заданного периода времени дают одинаковые денежные суммы, следовательно, все четыре графика наращения выходят из одной точки и по истечении 14-ти месяцев сходятся в одной точке. Результаты расчета представим в табл. 2.4, графики наращения – на рис. 2.9.

Таблица 2.4

Продолжитель­ность ФО, m
0	60 000,00	60 000,00	60 000,00	60 000,00
2	62 756,70	62 438,42	62 160,92	62 438,44
4	65 513,40	64 975,93	64 483,31	64 975,97
6	68 270,10	67 616,57	66 985,97	67 616,63
8	71 026,80	70 364,52	69 690,73	70 364,61
10	73 783,50	73 224,15	72 623,11	73 224,27
12	76 540,20	76 200,00	75 813,10	76 200,15
14	79 296,90	79 296,79	79 296,20	79 296,97

Полученные данные показывают, что наращение по сложным эквивалентным ставкам и даёт одинаковые результаты, поэтому фактически на рис. 2.9 представлены три графика наращения. Графики и совпадают.

Рис. 2.9. Графики наращения по эквивалентным ставкам