7.2. Расчет наращенных сумм с учетом инфляции

Инфляция (inflation) – это процесс обесценивания национальной валюты, связанный с общим повышением уровня цен в экономике [2, 5].

Инфляция может проявляться в переполнении сферы обращения бумажными деньгами вследствие их чрезмерного выпуска и в сокращении товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег. Существенным признаком инфляции является рост усредненной цены всей номенклатуры или корзины товаров и услуг, выбранных в качестве базы для выявления уровня инфляции. Инфляцию необходимо учитывать при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной доходности ФО.

Пусть за период времени t стоимость фиксированного набора товаров и услуг изменилась от суммы до суммы . Тогда для количественной характеристики процесса инфляции можно использовать систему относительных показателей.

Индексом цен (price index) или индексом инфляции за период времени t называют величину

,

(7.7)

которая показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период времени по сравнению с предыдущим периодом. В этом случае индекс цен боль­ше единицы. Наиболее часто используют индекс потребительских цен (consumer price index), отражающий рост цен на некоторый постоянный пот­ребительский набор товаров и услуг, называемый потребительской корзиной. В отдельные пе­риоды времени может наблюдаться снижение цен. Такой процесс в экономике называют дефляцией (deflation). Тогда индекс цен становится меньше единицы.

Инфляция эквивалентна изменению покупательной способности денег. Для ха­рактеристики этого изменения используют индекс покупательной способности денег [3]

.

(7.8)

Индексы J и должны быть определены за один и тот же период времени t, иначе уравнение (7.8) потеряет экономический смысл. Указанные индексы могут быть выражены в процентах или в долях единицы.

Темпом инфляции за период времени t называют величину

,

(7.9)

которая может быть выражена в процентах или в долях единицы и показывает, на сколько (процентов) выросли цены за данный период. Формально определение темпа инфляции h совпадает с определением процентной ставки i, а определение индекса инфляции J совпадает с определением индекса роста В суммы денег.

Подставляя формулу (7.9) в (7.7), получаем новое соотношение

.

(7.10)

Индекс инфляции всегда характеризует рост цен за рассматриваемый период времени по сравнению с ценами предыдущего периода . Если известны индексы инфляции , , …, или темпы инфляции , , …, за соответствующие последовательные периоды времени , , …, , то результирующий индекс инфляции за период времени будет равен

.

(7.11)

В случае, когда индекс инфляции рассчитывают k раз при постоянном темпе инфляции , результирующий индекс инфляции будет равен

.

(7.12)

При высоком уровне индекса инфляции J или темпа инфляции h может возникнуть эрозия капитала, при которой операция наращения не дает реального прироста денежных сумм. Например, при наращении с использованием простой процентной ставки i при прогнозируемом уровне индекса инфляции J и темпа инфляции h за предстоящий период времени t с учетом формулы (2.2) получим:

.

(7.13)

Очевидно, что наращенная сумма FV будет в J или в раз меньше пред­по­ла­га­емой суммы, рассчитанной без учета инфляции. Сумма FV может стать больше современной стоимости PV только при условии, что множитель наращения будет больше индекса инфляции J, т. е. или . В случае эта сумма уменьшится по сравнению с PV, а при она останется без из­ме­нений. Из последнего равенства можно выразить ставку i, которую обозначают и называют минимально необходимой или критической ставкой, при которой не происходит эрозии капитала:

,

(7.14)

Любую простую процентную ставку, превышающую , называют положительной, т. к. она реально обеспечивает процесс наращения. Аналогично, с учетом формул (2.12), (2.17) и (2.19), можно выразить другие критические ставки:

• при использовании сложной процентной ставки

;

(7.15)

• при использовании простой учетной ставки

;

(7.16)

• при использовании сложной учетной ставки

.

(7.17)

Чтобы полностью устранить негативное влияние инфляции и обеспечить реальное наращение денежных сумм, выполняют индексацию ставки, получая новую положительную ставку, скорректированную с учетом индекса инфляции, которую условно называют брутто-ставкой [2]. В этом контексте исходную ставку иногда называют нетто-ставкой или номинальной ставкой. Выражения брутто-ставок получают, приравнивая два множителя наращения, один из которых содержит номинальную ставку, а другой – брутто-ставку и индекс инфляции J. При использовании простой процентной ставки приравнивают множители наращения и , где i – номинальная ставка, а  – брутто-ставка, и получают выражение для :

.

(7.18)

Если в полученной формуле продолжительность ФО t принять равной 1 году и вместо годового индекса инфляции J ввести годовой темп инфляции h, то с учетом годовой процентной ставки i получим формулу Фишера [5]

,

(7.19)

которая показывает, что для полной компенсации негативного влияния инфляции при использовании простой процентной ставки недостаточно увеличивать номинальную ставку i на величину темпа инфляции h, а следует учитывать дополнительное слагаемое .

Приравнивая соответствующие множители наращения, можно по аналогии с формулой (7.18) выразить другие брутто-ставки:

• при использовании сложной процентной ставки

;

(7.20)

• при использовании простой учетной ставки

;

(7.21)

• при использовании сложной учетной ставки

.

(7.22)

Полученные по формулам (7.18), (7.20), (7.21) и (7.22) ставки позволяют обеспечить требуемую доходность ФО в условиях инфляции. Помимо этого можно для компенсации негативного влияния инфляции использовать плавающие ставки (см. раздел 2.10).

Пример 7.2. Денежные средства в размере 100 000 руб. вложены в инвестиционный проект сроком на 10 месяцев с уровнем доходности 24% годовых. Годовой темп инфляции составляет 7%. Определить годовой индекс инфляции, индекс покупательной способности денег и брутто-ставки для четырех основных ставок ( , , , ).

Решение.

руб.;

мес.;

;

.

Продолжительность данной ФО выражается в месяцах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.7): .

Годовой индекс инфляции определяем по формуле (7.10):

.

Индекс покупательной способности денег определяем по формуле (7.8):

.

Для четырех основных ставок определим брутто-ставки по формулам:

– для простой процентной ставки (7.18)

;

– для сложной процентной ставки (7.20)

;

– для простой учетной ставки (7.21)

;

– для сложной учетной ставки (7.22)

.

Полученные брутто-ставки позволяют полностью устранить негативное влияние инфляции и обеспечивают реальное наращение денежных сумм.