6. Замена и консолидация платежей

6.1. Понятие финансовой эквивалентности

Возникают ситуации, когда участники ФО вынуждены менять суммы и сроки платежей или объединять несколько платежей в один, выполняя их кон­со­ли­да­цию, с установлением нового срока погашения кон­со­ли­дированного платежа. В результате любых изменений ни один из участников не должен терпеть убыток. Для этого участники ФО руководствуются принципом финансовой эквивалентности, реализуемым с помощью уравнения эквивалентности, сог­ласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени (focal date) в прошлом (путем дисконтирования) или в будущем (путем наращения), приравнивается к сумме заменяющего платежа по новому соглашению, приведенного к тому же моменту времени [2, 3]. Например, при замене одного платежа, имеющего будущую стоимость и срок погашения , новым платежом, имеющим будущую стоимость и срок погашения , при условии приведения к начальной дате в прошлом путем дисконтирования получим следующее уравнение эквивалентности:

;

(6.1)

где и  – приведенные стоимости заменяющего и заменяемого платежей. В зависимости от используемых ставок можно записать следующие частные случаи уравнения эквивалентности:

• при использовании простой процентной ставки [3]

;

(6.2)

• при использовании сложной процентной ставки [2]

;

(6.3)

• при использовании простой учетной ставки

;

(6.4)

• при использовании сложной учетной ставки [2]

.

(6.5)

При консолидации, т. е. при замене нескольких платежей, имеющих будущие стоимости и сроки погашения , одним новым платежом, имеющим будущую стоимость и срок погашения , при условии приведения к начальной дате в прошлом путем дисконтирования получим следующее уравнение эквивалентности:

,

(6.6)

где и  – приведенные стоимости заменяющего и заменяемых платежей. В зависимости от используемых ставок возможны следующие частные случаи уравнения эквивалентности [2]:

• при использовании простой процентной ставки

;

(6.7)

• при использовании сложной процентной ставки

;

(6.8)

• при использовании простой учетной ставки

;

(6.9)

• при использовании сложной учетной ставки

.

(6.10)

Полученные уравнения эквивалентности позволяют в конкретных случаях определять будущую стоимость заменяющего платежа и срок его погашения. Если сроки платежей заданы в днях , месяцах m или годах n, то полученные уравнения можно преобразовать с учетом формул (1.6)–(1.8).

6.2. Замена платежей

Под заменой платежей понимают такое изменение условий ФО, при котором один платеж, имеющий будущую стоимость и срок погашения , заменяют новым платежом, имеющим будущую стоимость и срок погашения . Если при этом изменяют срок погашения нового платежа по сравнению с ранее назначенным сроком , то задача сводится к определению будущей стоимости заменяющего платежа. В зависимости от используемой ставки можно выразить величину из соответствующего уравнения эквивалентности (6.2)–(6.5):

• при использовании простой процентной ставки

;

(6.11)

• при использовании сложной процентной ставки [2]

;

(6.12)

• при использовании простой учетной ставки

;

(6.13)

• при использовании сложной учетной ставки [2]

.

(6.14)

Полученные формулы показывают, что при увеличении срока по сравнению с будет увеличиваться и будущая стоимость по сравнению с , а при уменьшении по сравнению с будущая стоимость будет уменьшаться по сравнению с . Если сроки и равны, то никакой замены не происходит и стоимости и становятся равными.

Если сроки погашения платежей и заданы в днях , то с учетом формулы (1.6) можно преобразовать, например, формулу (6.11):

.

(6.15)

Каждая из формул (6.11)–(6.14), полученных на основе уравнений эквивалентности (6.2)–(6.5), содержит одновременно две операции: дисконтирование будущей стоимости заменяемого платежа за период времени до его современной стоимости и наращение этой стоимости за новый период времени до величины новой будущей стоимости заменяющего платежа. При этом фактически проис­ходит изменение стоимости до за дополнительный период времени . Формулы (6.12) и (6.14) характеризуют это изменение нагляднее, чем формулы (6.11) и (6.13). Для повышения наглядности формул (6.11) и (6.13) обозначим и, опустив элементарные преобразования этих формул, получим [5]:

• при использовании простой процентной ставки

;

(6.16)

• при использовании простой учетной ставки

.

(6.17)

Структура формулы (6.16) соответствует структуре формулы (2.2) и показывает, что сумма наращивается до суммы при величине скорректированной процентной ставки за период времени . Структура формулы (6.17) соответствует структуре формулы (2.16) и показывает, что сумма дисконти­ру­ется до суммы при величине скорректированной учетной ставки за период времени .

При изменении условий ФО участники могут прийти к соглашению об изменении будущей стоимости заменяющего платежа по сравнению с . Тогда задача сводится к определению срока погашения заменяющего платежа. Однако в соответствии с уравнением эквивалентности (6.1) сумма не может назначаться меньше приведенной стоимости , которую можно определить из уравнений (6.2)–(6.5). Если это условие не будет выполнено, то получится отрицательное значение срока погашения . В зависимости от используемой ставки можно выразить величину из соответствующего уравнения эквивалентности (6.2)–(6.5), причём для сложных ставок обе части уравнения после преобразований логарифмируют с использованием натуральных или десятичных логарифмов:

• при использовании простой процентной ставки

,

(6.18)

где ;

• при использовании сложной процентной ставки [2]

,

(6.19)

где ;

• при использовании простой учетной ставки

,

(6.20)

где ;

• при использовании сложной учетной ставки [2]

,

(6.21)

где .

Если сроки погашения платежей и заданы в днях , то с учетом формулы (1.6) можно преобразовать, например, формулу (6.18):

.

(6.22)

Формулы (6.19) и (6.21), нагляднее, чем формулы (6.18) и (6.20) показывают, что при изменении будущей стоимости до величины происходит изменение срока погашения от до . Для повышения наглядности формул (6.18) и (6.20), выразим срок погашения из формул (6.16) и (6.17) и получим [5]:

• при использовании простой процентной ставки

;

(6.23)

• при использовании простой учетной ставки

.

(6.24)

Пример 6.1. Платеж на сумму 25 000 рублей со сроком уплаты 8 мес. заменили новым пла­тежом со сроком уплаты: а) 6 месяцев, б) 10 месяцев. Ставка наращения – 20% годовых. Определить сумму заменяющего платежа для четырех основных ставок ( , , , ).

Решение.

руб.;

мес.;

а) мес.;

б) мес.;

.

Продолжительность данной ФО выражается в месяцах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.7): .

Для четырех основных ставок определим сумму заменяющего платежа по формулам:

– для простой процентной ставки (6.11) ;

а) (руб.);

б) (руб.);

– для сложной процентной ставки (6.12) ;

а) (руб.);

б) (руб.);

– для простой учетной ставки (6.13) ;

а) (руб.);

б) (руб.);

– для сложной учетной ставки (6.14) ;

а) (руб.);

б) (руб.).

Расчеты показывают, что если срок уплаты заменяющего платежа меньше срок уплаты заменяемого платежа , то сумма заменяющего платежа в соответствии с принципом финансовой эквивалентности становится меньше суммы заменяемого платежа . Если же срок уплаты больше срок уплаты , то сумма больше, чем .

Пример 6.2. Платеж на сумму 25 000 рублей со сроком уплаты 8 месяцев заменили новым пла­тежом на сумму: а) 22 000 рублей, б) 28 000 рублей. Ставка наращения – 20% годовых. Определить, какая из двух сумм может быть использована для замены, и определить срок уплаты заменяющего платежа для четырех основных ставок ( , , , ).

Решение.

руб.;

мес.;

а) руб.;

б) руб.;

.

Продолжительность данной ФО выражается в месяцах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.7): .

Для четырех основных ставок определим срок уплаты заменяющего платежа по формулам:

– для простой процентной ставки (6.18) ; при этом сумма заменяющего платежа должна удовлетворять условию ; ; руб. Следовательно, сумма заменяющего платежа, равная 22 000 руб., не может быть принята. Тогда выполняем расчет только для условия руб.

(мес.);

– для сложной процентной ставки (6.19) ; при этом сумма заменяющего платежа должна удовлетворять условию ; ; руб. Следовательно, сумма заменяющего платежа, равная 22 000 руб., не может быть принята. Тогда выполняем расчет только для условия руб.

(мес.);

– для простой учетной ставки (6.20) ; при этом сумма заменяющего платежа должна удовлетворять условию ; ; руб. Следовательно, обе суммы заменяющего платежа, равные 22 000 руб. и 28 000 руб., могут быть приняты. Тогда выполняем расчет для обоих условий:

а) (мес.);

б) (мес.);

– для сложной учетной ставки (6.21) ; при этом сумма заменяющего платежа должна удовлетворять условию ; ; руб. Следовательно, обе суммы заменяющего платежа, равные 22 000 руб. и 28 000 руб., могут быть приняты. Тогда выполняем расчет для обоих условий:

а) (мес.);

б) (мес.).

Расчеты показывают, что если сумма заменяющего платежа меньше суммы заменяемого платежа , то срок уплаты заменяющего платежа в соответствии с принципом финансовой эквивалентности становится меньше срок уплаты заменяемого платежа . Если же сумма больше суммы , то срок уплаты больше, чем срок уплаты .