2.8. Сравнение темпов роста денежных средств по разным ставкам

Для сравнения темпов роста денежных средств по разным ставкам достаточно сопоставить соответствующие множители наращения. При одинаковых значениях ставок величины множителей существенно зависят от продолжительности ФО t.

Сравнивая темпы роста денежных средств по простой процентной и простой учетной ставкам, сопоставляют множители наращения и , полагая в них [2]. Тогда в соответствии со свойствами прямой линии и гиперболы возможны два варианта соотношений (см. рис. 2.4):

• если , то  – значения наращенных сумм и совпадают и равны современной стоимости PV;

• если , то  – больший процентный доход кредитору даст простая учетная ставка d.

На рис. 2.4 видно, что линия наращения по простой процентной ставке является касательной к линии наращения по простой учетной ставке.

Сравнивая темпы роста денежных средств по простой и сложной процентным ставкам, сопоставляют множители наращения и . Тогда в соответствии со свойствами прямой линии и показательной функции воз­можны четыре варианта соотношений (рис. 2.5):

• 

  Рис. 2.5. Сравнение темпов роста

  денежных средств по учетным

  ставкам: FV_ds – сумма, наращенная по простой учетной ставке; FV_dc – сумма,

  наращенная по сложной учетной

  ставке

  если , то  – значения наращенных сумм и совпадают и равны современной стоимости PV;

• если , то  – при продолжительности ФО менее одного периода начисления процентов (например, года) больший процентный доход кредитору дает простая ставка;

• если , то  – при про­дол­жительности ФО, равной одному периоду начисления процентов обе ставки дают кредитору одинаковый процентный доход;

• если , то  – при продолжительности ФО более одного периода начисления процентов больший процентный доход кредитору дает сложная ставка.

Рис. 2.6. Сравнение темпов роста

денежных средств по процентным

ставкам: FV_is – сумма, наращенная

по простой процентной ставке;

FV_ic – сумма, наращенная

по сложной процентной ставке

Сравнивая темпы роста денежных средств по простой и сложной учетным ставкам, сопоставляют множители наращения и (рис. 2.6):

• если , то  – значения наращенных сумм и совпадают и равны современной стоимости PV;

• если , то  – при продолжительности ФО менее одного периода начисления процентов больший процентный доход кредитору дает сложная ставка;

• если , то  – при продолжительности ФО, равной одному периоду начисления процентов обе ставки дают кредитору одинаковый процентный доход;

• если , то  – при продолжительности ФО более одного периода начисления процентов больший процентный доход кредитору дает простая ставка.

Для иллюстрации сравнительных характеристик темпов роста денежных средств по разным ставкам в табл. 2.1 приведены численные значения множителей наращения при заданной ставке для периодов начисления процентов, а на рис. 2.7 – графики наращения. Таблица показывает, что при прочих равных условиях наименьший процентный доход кредитору при дает сложная процентная ставка, а наибольший – сложная учетная ставка, тогда как при наименьший процентный доход дает простая процентная ставка, а наибольший – простая учетная ставка. При учетные ставки дают больший процентный доход, чем процентные ставки.

Таблица 2.1

Численные значения множителей наращения по разным ставкам

Периоды начисления процентов, t	Простая процентная ставка,	Сложная процентная ставка,	Простая учетная ставка,	Сложная учетная ставка,
0,00	1,000	1,000	1,000	1,000
0,25	1,025	1,024	1,026	1,027
0,50	1,050	1,049	1,053	1,054
0,75	1,075	1,074	1,081	1,082
1,00	1,100	1,100	1,111	1,111
1,25	1,125	1,127	1,143	1,141
1,50	1,150	1,154	1,176	1,171
1,75	1,175	1,182	1,212	1,202
2,00	1,200	1,210	1,250	1,235
2,25	1,225	1,239	1,290	1,268
2,50	1,250	1,269	1,333	1,301
2,75	1,275	1,300	1,379	1,336
3,00	1,300	1,331	1,429	1,372

Пример 2.4. Клиент получил финансовый кредит 40 000 рублей на срок 7 месяцев. Ставка наращения – 12% годовых. Определить сумму долга вместе с процентами для четырех основных ставок ( , , , ). Оценить, по какой ставке наращение происходит быстрее.

Решение.

руб.;

мес.;

.

Продолжительность данной ФО задана в месяцах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.7): .

Сумма долга вместе с процентами представляет собой наращенную сумму. Для ее определения используем 4 базовые формулы:

– по формуле (2.2) для простой процентной ставки

Рис. 2.7. Графики наращения на основе множителей наращения

(руб.);

– по формуле (2.12) для сложной процентной ставки

(руб.);

– по формуле (2.17) для простой учетной ставки

(руб.);

– по формуле (2.19) для сложной учетной ставки

(руб.).

В операциях наращения учетные ставки обеспечивают более высокие темпы наращения, чем процентные. При продолжительности ФО до одного года простая процентная ставка обеспечивает более высокий темп наращения, чем сложная процентная, а сложная учетная ставка – более высокий темп наращения, чем простая учетная.

Пример 2.5. Клиент получил финансовый кредит 60 000 рублей на срок 2 года. Ставка наращения – 18% годовых. Определить сумму долга вместе с процентами и суммы процентов за 1-й и 2-й годы для четырех основных ставок ( , , , ). Построить графики наращения за 4 периода: через полгода, 1 год, 1,5 года, 2 года.

Решение.

руб.;

года;

.

Продолжительность данной ФО задана в годах, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.8): .

Сумма долга вместе с процентами представляет собой наращенную сумму. Для ее определения используем 4 базовые формулы (2.2), (2.12), (2.17), (2.19). Результаты расчета представим в табл. 2.2, графики наращения – на рис. 2.8.

Таблица 2.2

Продолжительность ФО, n
0,0	60 000,00	60 000,00	60 000,00	60 000,00
0,5	65 400,00	65 176,68	65 934,07	66 258,92
1,0	70 800,00	70 800,00	73 170,73	73 170,73
1,5	76 200,00	76 908,49	82 191,78	80 803,56
2,0	81 600,00	83 544,00	93 750,00	89 232,60

Рис. 2.8. Графики наращения по четырем основным ставкам

Для расчета суммы процентов за 1-й и 2-й годы воспользуемся следующими соотношениями:

– за 1-й год , где  – наращенная сумма за 1-й год;

– за 2-й год , где  – наращенная сумма за 2 года.

Тогда для четырех основных ставок с использованием данных табл. 2.2 получим:

– для простой процентной ставки

(руб.);

(руб.);

– для сложной процентной ставки

(руб.);

(руб.);

– для простой учетной ставки

(руб.);

(руб.);

– для сложной учетной ставки

(руб.);

(руб.).