2.4. Реинвестирование денежных средств с использованием простой процентной ставки

Реинвестированием или капитализацией называют операцию наращения, в ко­то­рой наращенную сумму FV по истечении установленного периода времени вкладывают на новый период [3].

При реинвестировании используют как постоянные, так и плавающие ставки. В случае постоянной процентной ставки i наращенная сумма , полученная из современной стоимости PV за период времени в соответствии с формулой (2.2) составит . Если эта сумма будет переоформлена на следующий период времени , то в новой операции наращения она будет выполнять функцию современной стоимости, а новая на­ращенная сумма станет равной . Тогда в общем случае за k последовательных периодов наращенная сумма FV составит

.

(2.10)

В данной формуле каждый из сомножителей представляет собой ничто иное, как индекс роста за соответствующий период , а произведение численно равно индексу роста , вычисляемому по формуле (1.11).

В случае, когда реинвестирование выполняется k раз в течение равных периодов времени при постоянной ставке i, наращенная сумма FV будет равна

.

(2.11)

Величина наращенной суммы, полученной по формулам (2.10) и (2.11), во всех случаях превышает величину наращенной суммы, полученной по формуле (2.2). Соответственно, сумма процентного дохода I при реинвестировании больше, чем при наращении по простой процентной ставке.

Пример 2.3. На депозитный счет зачислили денежные средства в размере 10 000 рублей на период 9 месяцев с условием ежемесячной капитализации процентов. Процентная ставка 12% годовых. Определить наращенную сумму и сравнить ее с наращенной суммой, полученной без капитализации процентов.

Решение.

руб.;

мес.;

.

Капитализация процентов или реинвестирование означает, что наращенная за текущий период сумма зачисляется на следующий период в качестве современной стоимости. Период капитализации составляет 1 месяц, т. е. 1/12 часть года, и таких периодов 9. Наращенную сумму определяем по формуле (2.11), приняв в ней , . Тогда

(руб.).

Для сравнения определим наращенную сумму без капитализации по формуле (2.4):

(руб.).

Таким образом, наиболее привлекательным для вкладчика и наименее привлекательным для банка является реинвестирование.

2.5. Наращение денежных средств с использованием сложной процентной ставки

Операцию наращения по сложной процентной ставке (сложными процентами) применяют в средне- и долгосрочных ФО операциях продолжительностью более одного года, если проценты не выплачивают сразу после их начисления, а присоединяют к сумме долга [3]. База для начисления сложных процентов постоянно возрастает с каждым фиксированным периодом времени между начислением процентов. Наращение по сложной процентной ставке можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на несколько равных периодов начисления. Обычно, в зависимости от условий ФО, сложные проценты начисляют один раз в месяц, квартал, полугодие или год, поэтому предполагается, что процентная ставка i однозначно согласована с продолжительностью соответствующего периода времени, т. е. является соответственно месячной, квартальной, полугодовой или годовой.

Пусть некоторая денежная сумма PV была положена в банк на период времени , например, на один год. Тогда к концу этого года по годовой процентной ставке i будут в соответствии с формулой (2.1) начислены декурсивные проценты , а наращенная сумма в соответствии с формулой (2.2) будет равна . Если всю эту сумму переоформят на второй год , то к концу этого года на нее будут начислены проценты , а наращенная сумма будет равна . В данной фо­рмуле показатель степени «2» соответствует продолжительности ФО, составляющей 2 полных года. В общем случае этот показатель численно равен количеству лет между начислением процентов, что соответствует продолжительности ФО. Тогда формула для расчета наращенной суммы FV примет вид:

.

(2.12)

Полученную формулу называют формулой наращения сложными процентами с использованием процентной ставки i, а множитель – множителем наращения. Этот множитель соответствует индексу роста B.

Формула (2.12) показывает, что наращение по сложной процентной ставке осуществляется в соответствии с геометрической прогрессией, первый член которой равен PV, а знаменатель – [3]. Формула (2.12) является частным случаем формулы (2.11) и может быть получена из нее при условии согласования процентной ставки i с периодом начисления процентов, когда этот период равен одному году.

В операции наращения по сложной процентной ставке общая сумма начисленных процентов с учетом формул (1.1) и (2.12) будет равна:

.

(2.13)

Эта сумма не пропорциональна ни продолжительности ФО t, ни процентной ставке i, за исключением случая .

Рис. 2.3. Нелинейная зависимость суммы

начисленных процентов I

от продолжительности ФО t

Формула (2.13) показывают, что зависимость суммы начисленных процентов I от продолжительности ФО t нелинейная, а функция является показательной, т. к. аргумент этой функции t представляет собой показатель степени. Формула также показывает, что, в отличие от наращения по простой процентной ставке i, проценты, начисленные по сложной процентной ставке за очередной период начисления, выше, чем за предшествующий период, равный ему по продолжительности (рис. 2.3).

Если возникает необходимость определения суммы начисленных процентов за несколько промежуточных периодов или за отдельные промежуточные периоды, то можно использовать следующие формулы:

• за первый период или , где  – наращенная сумма за первый период, определяемая по формуле (2.12);

• за два периода ;

за второй период или ;

• …;

• за весь период ФО (за все t периодов) ;

за последний период или .

Во многих случаях продолжительность ФО не совпадает с целым числом периодов начисления процентов. Пусть продолжительность ФО представлена в виде , где t – целое число периодов, например, лет, а  – дробная часть периода, например часть года, выраженная в виде обыкновенной или десятичной дроби. Тогда используют один из двух вариантов расчета наращенной суммы FV [2]:

• по схеме сложных процентов

;

(2.14)

• по смешанной схеме

,

(2.15)

в которой для целого числа периодов используют схему сложных процентов, а для дробной части – схему простых процентов.

Часто на практике (в депозитных договорах, в соглашениях на получение кредита, в контрактах, оговаривающих выплату дивидендов) капитализация процентов происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно. При этом задают продолжительность ФО n в годах, количество k периодов начисления процентов в году и годовую процентную ставку i, которую называют номинальной (nominal rate). Тогда фактор времени t в формуле (2.12) будет равен , а сама формула примет вид:

.

(2.16)

Тогда можно считать формулу (2.12) частным случаем данной формулы при и . Если продолжительность ФО не равна целому числу лет, то показатель степени в формуле (2.16) следует представить в виде , где n – целое количество лет (в том числе и 0), m – количество месяцев последнего (неполного) года. Результаты расчетов по данной формуле совпадают с результатами, полученными по формуле (2.11), т. к. наращение по сложной процентной ставке представляет собой реинвестирование.