2.3. Наращение денежных средств с использованием простой процентной ставки при изменении суммы депозита во времени

Депозитом называют вклад в банк или сберегательную кассу (срочный, до востребования, условный), а также взнос в таможенные, судебные и административные учреждения.

Обычно суммы депозитов постоянно изменяются за счет пополнения или снятия денег, а время измеряют числом дней . Пусть первоначальная сумма депозита при открытии счета составляла и оставалась без изменения в течение дней. Пусть, например, по окончании этого периода сумма депозита изменится на величину . Тогда очередная сумма депозита составит . Пусть эта сумма остается неизменной в течение дней. Пусть в общем случае количество периодов, в течение которых сумма депозита после очередного изменения остается постоянной, будет равно k. Обозначим сумму депозита в любом промежуточном периоде через . Тогда для эта сумма соответствует первоначальной сумме при открытии счета, а для любого составляет . При добавлении денег на депозит величина положительна, при снятии денег – отрицательна.

Рассмотренная ситуация с депозитом представляет собой k последовательных ФО наращения. Определим сумму процентного дохода в каждой из них по формуле (2.1):

1-я ФО – ;

2-я ФО – ;

…;

k-я ФО – .

В приведенных формулах имеются общие множители. Для упрощения расчетов вручную вводят обозначение . Полученный коэффициент называют дивизором (interest divisor), процентным ключом или постоянным делителем [2, 3]. С учетом дивизора формулы (2.1) и (2.3) примут вид:

	;	(2.6)
	.	(2.7)

Дивизор численно равен такому количеству денежных единиц (рублей, долларов, евро и др.), с которого при процентной ставке i получают одну денежную единицу дохода в день [2].

Если i – годовая процентная ставка, то дневная процентная ставка с учетом формулы (1.6) составляет . Тогда по формуле (2.1) получим дневную сумму процентного дохода . Согласно определению дивизора, дневная сумма процентного дохода равна одному рублю, тогда . Решая данное уравнение относительно РV, получаем формулу , которая показывает, что РV  это сумма, от предоставления которой в долг получают сумму процентного дохода, равную одному рублю в день.

В пределах одной ФО, происходящей в течение года, величина дивизора не меняется. Однако если ФО попадает на стык невисокосного и високосного годов, величина дивизора может измениться за счет изменения временной базы Т.

С использованием дивизора сумма процентного дохода для любой промежуточной ФО будет равна . Тогда в общем случае за k последовательных ФО сумма процентного дохода составит

.

(2.8)

При закрытии счета владельцу будет возвращена сумма

,

(2.9)

включающая сумму , находившуюся на счете в течение последней k-й ФО, и процентный доход I.

Пример 2.2. Депозитный счет был открыт 15 февраля (день №46) и на него были зачислены денежные средства в размере 5 000 рублей. 10 апреля (день №100) на счет поступило 3 000 рублей. 20 мая (день №140) со счета сняли 2 000 рублей. 31 августа (день №243) счет закрыли. Простая процентная ставка 10% годовых. Способ начисления процентов – АСТ/360. Капитализация процентов не производится. Определить сумму, полученную клиентом при закрытии счета.

Решение.

(день № 46);

руб.;

(день № 100);

руб.;

(день № 140);

руб.;

(день № 243);

.

Продолжительность данной ФО выражается в днях, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.6): . Способ начисления процентов АСТ/360 показывает, что продолжительность ФО выражается точным числом дней; при этом процент обыкновенный, следовательно, временная база финансовых вычислений Т составляет 360 дней.

В соответствии с условиями задачи имеется 3 последовательных ФО. Определим для каждой из них продолжительность , текущую сумму и выразим процентный доход :

1-я ФО: (дня);

руб.;

,

где  – дивизор, процентный ключ или постоянный делитель;

2-я ФО: (дней);

(руб.);

;

3-я ФО: (дня);

(руб.);

.

Общую сумму процентных денег определим по формуле (2.8):

(руб.).

При закрытии счета клиент получит сумму, определяемую по формуле (2.9):

(руб.).

Эта сумма включает 6 000 руб., т. е. последнюю сумму на депозите на момент закрытия счета, и 355,56 руб. процентного дохода, накопленного от момента открытия счета до его закрытия.