5.3. Дисконтирование денежных средств с использованием сложной процентной ставки

Операцию дисконтирования по сложной процентной ставке применяют в сред­не- и долгосрочных ФО продолжительностью более одного года. Данный вид дисконтирования называют математическим дисконтированием по сложной процентной ста­в­ке. Расчеты, связанные с таким дисконтированием, выполняют для оценки будущих доходов, для оценки максимально возможных сумм, которые допустимо вложить в данный проект, исходя из его прогнозируемой рентабельности [2]. При этом величину современной стоимости PV с учетом (2.12) определяют по формуле

.

(5.4)

Экономический смысл данной формулы заключается в том, что прогнозируемая величина денежных средств FV по истечении периода времени t будет меньше и составит величину PV. Для инвестора сумма PV в данный момент и сумма FV через период t одинаковы по своей ценности [2]. Дисконтный множитель в данной формуле равен . Величину дисконта D определяют по формуле

.

(5.5)

5.4. Дисконтирование денежных средств с использованием простой учетной ставки

Данный вид дисконтирования называют банковским дисконтированием по простой учетной ставке, банковским или коммерческим учетом [2]. Его применяют в краткосрочных ФО продолжительностью до одного года, связанных с учетом долговых обязательств. Одним из видов долговых обязательств является вексель.

Вексель (bill) – это письменное ничем не обусловленное долговое обязательство строго установленной формы, выдаваемое заемщиком (векселедателем) кредитору (векселедержателю), предоставляющее последнему право требовать с заемщика уплаты к определенному сроку суммы денег, указанной в векселе [2].

Учет (дисконтирование) векселя (bill discounting) – это покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока [2].

Вексель может быть куплен третьим лицом, организацией или банком. При определении дисконтированной стоимости PV векселя, которую получит векселедержатель при досрочном учете векселя, исходят из указанной в векселе суммы FV к погашению. Эту сумму называют номинальной стоимостью векселя. Сумму FV при оформлении векселя определяют от первоначальной суммы долга с использованием принципов ФО наращения, имеющей про­дол­жи­тель­ность , которая соответствует сроку погашения векселя. Для расчета суммы FV может быть использована, например, формула (2.2): . Дисконтированная стоимость PV меньше номинальной стоимости FV на величину скидки или дисконта D, которую рассчитывают по объявленной банком учетной ставке d за период времени t от дня учета векселя до указанного в векселе дня погашения по формуле

.

(5.6)

В некоторых случаях по соглашению сторон величина дисконта может быть назначена без расчета в виде фиксированной величины на весь период t погашения векселя, однако, размер ставки неявно присутствует всегда [3].

Дисконтированную стоимость PV, которую получит векселедержатель, определяют по формуле

.

(5.7)

Дисконтный множитель в этой формуле равен . Он всегда меньше единицы, поэтому дисконтированная стоимость PV всегда меньше номинальной стоимости FV. Теоретически не исключен случай, когда дисконтный множитель станет отрицательным. По условию продолжительность ФО дисконтирования t не может превышать продолжительности предусмотренного в векселе срока погашения , однако при достаточно большой величине учетной ставки d возможно получение отрицательного значения дисконтного множителя. Для исключения подобного случая необходимо выполнение неравенства . Дисконтный множитель обращается в нуль при или при .

Продолжительность ФО дисконтирования чаще всего исчисляют в днях при временной базе дней способом АСТ/360. Тогда формулы (5.6) и (5.7) с учетом формулы (1.6) примут вид:

	;	(5.8)
	.	(5.9)

Для того чтобы операция учета векселя была выгодна для векселедержателя, необходимо, чтоб дисконтированная стоимость векселя PV превышала первоначальную сумму долга , по которой ранее определяли номинальную стоимость FV. При этом должно выполняться неравенство [5]

.

С учетом формулы (5.7) представим данное неравенство в виде

и выразим из него наибольшую возможную величину периода t от дня учета векселя до дня его погашения, при которой векселедержатель получит доход:

.

(5.10)

В предельном (критическом) случае, при , векселедержатель не получит дохода, а лишь вернет себе первоначальную сумму .

Используя формулу (5.9), выразим величину в днях:

или .

(5.11)

Если в результате операции учета векселя дисконтированная стоимость его составит PV, то векселедержатель получит процентный доход

,

(5.12)

а процентный доход банка в виде дисконта составит

.

(5.13)

Пример 5.1. Банк произвел учет векселя номинальной стоимостью 80 000 рублей за 120 дней до даты погашения по простой учетной ставке 30% годовых. Способ начисления дисконта АСТ/360. Определить дисконти­рованную стоимость векселя и процентный доход банка в виде дисконта.

Решение.

руб.;

дней;

.

Продолжительность данной ФО выражается в днях, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.6): . Способ начисления процентов АСТ/360 показывает, что продолжительность ФО выражается точным числом дней; при этом процент обыкновенный, следовательно, временная база финансовых вычислений Т составляет 360 дней.

Дисконтированную стоимость векселя определяем по формуле (5.9):

(руб.).

Процентный доход банка определяем по формуле (5.13):

(руб.).

Пример 5.2. Финансовый кредит на сумму 25 000 рублей выдан на срок 304 дня. Наращенную сумму определяли по простой процентной ставке 20% годовых, способ начисления процентов ACT/ACT. На эту сумму подписан вексель. Определить наибольший срок между датой учета и датой погашения векселя, начиная с которого векселедержатель получит доход от операции учета векселя банком по простой учетной ставке 40% годовых при способе начисления дисконта АСТ/360. Определить процентный доход векселедержателя и процентный доход банка в виде дисконта, если учет будет осуществлен за половину полученного срока. Построить графики формирования номинальной и дисконтированной стоимости векселя.

Решение.

руб.;

дня;

;

.

Продолжительность данной ФО выражается в днях, поэтому в расчетных формулах выполняем подстановку (1.6): .

При определении номинальной стоимости векселя используется способ начисления процентов АСТ/АСТ, означающий, что продолжительность ФО наращения выражается точным числом дней; при этом процент точный, следовательно, временная база финансовых вычислений составляет 365 дней.

Номинальную стоимость векселя определяем по формуле (2.3):

(руб.).

В операции учета векселя банком используется начисления дисконта АСТ/360, означающий, что продолжительность ФО дисконтирования выражается точным числом дней; при этом процент обыкновенный, следовательно, временная база финансовых вычислений составляет 360 дней.

Для определения критического периода между датами погашения и учета векселя, при котором векселедержатель не получит дохода, а лишь вернет первоначальную стоимость векселя , используем формулу (5.11)

(дней).

При любой продолжительности периода между датами погашения и учета векселя векселедержатель получит процентный доход от учета векселя банком. Определим процентный доход векселедержателя и процентный доход банка в виде дисконта, если учет будет осуществлен за половину полученного срока, т. е. дня. Для этого предварительно определим дисконтированную стоимость векселя по формуле (5.9):

(руб.).

Процентный доход векселедержателя от учета векселя по формуле (5.12) составит

(руб.).

Процентный доход банка (дисконт) от учета векселя по формуле (5.13) составит

(руб.).

Графики формирования номинальной FV и дисконтированной PV стоимости векселя представлены на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Графики формирования номинальной FV и дисконтированной PV стоимости векселя

5.5. Дисконтирование денежных средств с использованием сложной учетной ставки

Данный вид дисконтирования называют банковским дисконтированием по сложной учетной ставке. Его применяют в сред­не- и долгосрочных ФО продолжительностью более одного года, связанных с учетом долговых обязательств. Обычно продолжительность таких ФО составляет несколько лет.

Если долговое обязательство на сумму FV учитывают за 1 год до срока погашения по сложной годовой учетной ставке d, то величина дисконта в соответствии с формулой (5.6) составит . Тогда владелец получит сумму .

Если обязательство учитывают за два года до срока погашения, то за второй год дисконт начисляют на оставшуюся сумму и его величина составит , а сумма , которую в этом случае получит владелец обязательств, будет равна . В общем случае, если долговое обязательство учитывают за t периодов начисления дисконта, например, за n лет до срока погашения, то дисконтированная стоимость обязательств, которую получит владелец обязательств, будет равна

.

(5.12)

Дисконтный множитель в этой формуле равен . Он всегда меньше единицы, т. к. учетная ставка никогда не доходит до 1, т. е. не превышает 100%. Величина дисконта составляет

.

(5.13)

Если продолжительность ФО не совпадает с целым числом периодов начисления процентов и представлена в виде , где t – целое число периодов, например, лет, а  – дробная часть периода, например часть года, то используют один из двух вариантов расчета дисконтированной стоимости PV [2]:

• по схеме сложных процентов

  ;

  (5.14)

• по смешанной схеме

.

(5.15)

в которой для целого числа периодов используют схему сложных процентов, а для дробной части – схему простых процентов.